Física II Manual Autoformativo Interactivo Zonia Tello Berenstein Física II. Manual Autoformativo Interactivo Zonia Tello Berenstein Primera edición Huancayo, marzo de 2017 De esta edición © Universidad Continental Av. San Carlos 1980, Huancayo-Perú Teléfono: (51 64) 481-430 anexo 7361 Correo electrónico: recursosucvirtual@continental.edu.pe http://www.continental.edu.pe/ Versión e-book Disponible en http://repositorio.continental.edu.pe/ ISBN electrónico N.° 978-612-4196- Dirección: Emma Barrios Ipenza Edición: Eliana Gallardo Echenique Asistente de edición: Andrid Poma Acevedo Asesoría didáctica: Fernando Ñaupari Rafael Corrección de textos: Sara Maricruz Bravo Montenegro Diseño y diagramación: Francisco Rosales Guerra Todos los derechos reservados. Cada autor es responsable del contenido de su propio texto. Este manual autoformativo no puede ser reproducido, total ni parcialmente, ni registrado en o transmitido por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio sea mecánico, foto- químico, electrónico, magnético, electro-óptico, por fotocopia, o cualquier otro medio, sin el permiso previo de la Universidad Continental. Datos de catalogación bibliográfica mailto:recursosucvirtual@continental.edu.pe http://www.continental.edu.pe http://repositorio.continental.edu.pe Índice INTRODUCCIÓN 9 DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA 10 RESULTADO DE APRENDIZAJE 10 UNIDADES DIDÁCTICAS 10 TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO 10 UNIDAD I M.A.S., FLUIDOS, ONDAS y TERMODINÁMICA 11 DI AGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I 11 ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES 12 TEMA N° 1: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) 13 1. ENE RGÍA EN EL M.A.S.: 15 2. APLICACIONES DEL M.A.S.: 15 3. � PÉNDULO SIMPLE Y FÍSICO: 16 TEMA N° 2: MECÁNICA DE FLUIDOS 19 1. �DEN SIDAD Y PRESIÓN: 19 2. PRINCIPIO DE PASCAL 20 3. � FUERZA SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS 23 4. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES 23 5. � HIDRODINÁMICA 23 LECTURA SELECCIONADA N° 1: LA MEDICIÓN DEL TIEMPO 25 ACTIVIDAD FORMATIVA Nº 1 26 TEMA N° 3: ONDAS MECÁNICAS 27 1. TIPOS DE ONDAS MECÁNICAS 27 2. �DE SCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA Y RAPIDEZ DE UNA ONDA TRANSVERSAL 28 3. �ENE RGÍA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO 30 4. � ONDAS ESTACIONARIAS 30 5. �E L SONIDO Y EL OÍDO 32 TEMA N° 4: TERMODINÁMICA 34 1. � TEMPERATURA Y EQUILIBRIO TÉRMICO 34 2. �C ALORIMETRÍA Y CAMBIOS DE FASE 35 3. ENE RGÍA INTERNA Y LA TRASFERENCIA DE CALOR 36 4. � PRIMERA LEY DE TERMODINÁMICA 37 5. PROCESOS TERMODINÁMICOS 38 GLOSARIO DE LA UNIDAD I 40 BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD I 41 AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD I 42 UNIDAD II ELECTROSTÁTICA 45 DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD II 45 TEMA N.° 1: CARGA ELÉCTRICA Y CAMPO ELÉCTRICO 47 1. �C ARGA ELÉCTRICA 47 2. � LEY DE COULOMB 48 3. � FUERZA ELÉCTRICA Y CAMPO ELÉCTRICO PARA CARGAS PUNTUALES 48 4. FUERZA ELÉCTRICA Y CAMPO ELÉCTRICO PARA CARGAS DISTRIBUIDAS 49 5. �DI POLOS ELÉCTRICOS 52 TEMA N.° 2: LEY DE GAUSS 53 1. C ARGA Y FLUJO ELÉCTRICO 53 2. C ÁLCULO DEL FLUJO ELÉCTRICO 53 3. � LEY DE GAUSS 55 4. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS 55 5. C ARGAS EN CONDUCTORES 56 ACTIVIDAD FORMATIVA Nº 2 58 TEMA N.° 3: POTENCIAL ELÉCTRICO 59 1. �ENE RGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA 59 2. POTENCIAL ELÉCTRICO 60 3. �C ÁLCULO DEL POTENCIAL ELÉCTRICO EN CARGAS PUNTUALES 61 4. �C ÁLCULO DEL POTENCIAL ELÉCTRICO EN CARGAS DISTRIBUIDAS 61 5. � SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES 61 TEMA N.º 4: CAPACITANCIA Y DIELÉCTRICOS 63 1. �C APACITANCIA 63 2. ASOCIACIÓN DE CAPACITORES 64 3. � ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA 65 4. DIE LÉCTRICOS 66 5. � LEY DE GAUSS EN LOS DIELÉCTRICOS 68 LECTURA SELECCIONADA N.° 2 68 GLOSARIO DE LA UNIDAD II 69 BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD II 70 AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD Ii 71 UNIDAD III ELECTRODINÁMICA Y ELECTROMAGNETISMO 75 DIAGRAMA DE ORGANIZACIÓN DE LA UNIDAD III 75 ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES 76 TEMA N° 1: CORRIENTE, RESISTENCIA Y FUERZA ELECTROMOTRIZ 77 1. �C ORRIENTE ELÉCTRICA 77 2. �DEN SIDAD DE CORRIENTE (J) 77 3. RESISTENCIA ELÉCTRICA 78 4. LEY DE OHM 78 5. FUERZA ELECTROMOTRIZ Y CIRCUITOS 79 TEMA N° 2: CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 81 1. RESISTORES EN SERIE Y PARALELO 81 2. LEYES DE KIRCHHOFF 82 3. IN STRUMENTOS DE MEDICIÓN ELÉCTRICA 83 ACTIVIDAD FORMATIVA Nº 5 85 TEMA N° 3: CAMPO MAGNÉTICO Y FUERZAS MAGNÉTICAS 87 1. MAGNETISMO 87 2. C AMPO MAGNÉTICO 87 3. LÍNEAS DE CAMPO Y FLUJO MAGNÉTICO 88 4. � MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CON CARGA EN UN CAMPO MAGNÉTICO 90 5. � FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR QUE TRANSPORTA CORRIENTE 91 6. � FUERZA Y MOMENTO DE TORSIÓN EN UNA ESPIRA DE CORRIENTE 91 7. E L MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA 92 TEMA N° 4: FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO 95 1. �C AMPO MAGNÉTICO DE UNA CARGA EN MOVIMIENTO, DE UN ELEMENTO DE CORRIENTE Y DE UN CONDUCTOR RECTO QUE TRASNPORTA CORRIENTE 95 2. � FUERZA ENTRE CONDUCTORES PARALELOS 97 3. C AMPO MAGNÉTICO DE UNA ESPIRA CIRCULAR DE CORRIENTE 98 4. � LEY DE AMPERE Y SUS APLICACIONES 99 TEMA N° 5: INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 100 1. E XPERIMENTO DE INDUCCIÓN 100 2. LEY DE FARADAY 101 3. LEY DE LENZ 101 4. FUERZA ELECTROMIZ DE MOVIMIENTO 102 5. C AMPOS ELÉCTRICOS INDUCIDOS 103 LECTURA SELECCIONADA N° 3: Materiales magnéticos hoy: ¿Imanes de átomos aislados? 103 ACTIVIDAD FORMATIVA Nº 6 104 GLOSARIO DE LA UNIDAD IiI 106 BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD III 107 AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD IIi 108 UNIDAD IV CORRIENTE, ÓPTICA Y FÍSICA MODERNA 111 DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD IV 111 ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES 112 TEMA Nº 1: CORRIENTE ALTERNA 113 1. �C ORRIENTE ALTERNA 113 2. RESISTENCIA Y REACTANCIA 114 3 POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA 118 4. TRANSFORMADORES 119 TEMA N.° 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 121 1. EC UACIÓN DE MAXWELL Y O.E.M 121 2. O.E.M. PLANAS 122 3. O.E.M SINUSOIDALES 122 4. ENE RGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE LAS O.E.M 123 5. E L ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO 123 ACTIVIDAD FORMATIVA N.º 1 124 TEMA N.° 3: ÓPTICA 125 1 �NATURALEZA Y PROPAGACIÓN DE LA LUZ, REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN, REFLEXIÓN INTERNA TOTAL 125 2. � ÓPTICA GEOMÉTRICA E INSRTUMENTOS (ESPEJOS PLANOS Y ESFÉRICOS, LENTES DELGADAS) 126 3. LA LENTE DE AUMENTO 131 4. MICROSCOPIOS Y TELESCOPIOS 132 5. IN TERFERENCIA Y DIFRACCIÓN 133 TEMA N.º 4: FÍSICA MODERNA 137 1. IN VARIABILIDAD DE LAS LEYES FÍSICAS 137 2. RELATIVIDAD DE LA SIMULTANEIDAD 137 3. � RELATIVIDAD DE LOS INTERVALOS DE TIEMPO 137 4. RELATIVIDAD DE LA LONGITUD 138 5. � MASA RELATIVISTA 138 6. TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ 139 7. C ANTIDAD DE MOVIMIENTO RELATIVISTA 139 8. TRABAJO Y ENERGÍA RELATIVISTA 140 9. MECÁNICA NEWTONIANA Y RELATIVIDAD 140 LECTURA SELECCIONADA N.° 1: Invisibilidad electromagnética 141 ACTIVIDAD FORMATIVA Nº 2 141 GLOSARIO DE LA UNIDAD IV 142 BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD IV 143 AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD IV 144 ANEXO 1: SOLUCIONARIO de las autoevaluaciones 147 9 Física II MANUAL AUTOFORMATIVO INTERACTIVO INTRODUCCIÓN L a física es una ciencia exacta que estudia las propiedades de la naturaleza, usando el lenguaje matemático. Además, utiliza el método científi- co y, gracias al entendimiento de sus leyes, nos ha permitido desarrollar los avances que ahora conoce- mos, como la energía eléctrica, los aviones y auto- móviles. Este curso de Física II es un curso de carác- ter obligatorio en la carrera y cuyos conocimientos permitirán al alumno comprender fenómenos físicos que han sido aprovechados por el hombre para cono- cer su entorno y desarrollar máquinas y herramientas que faciliten el desarrollo de sus actividades. Esta asignatura de Física II está diseñada para con- tribuir al desarrollo del currículo. En esta se incluyen temas de conocimiento necesario, como son los siguientes: en la Unidad I, se tratará el movimien- to armónico simple, que nos permite entender, por ejemplo, el funcionamiento de un reloj de péndulo; mecánica de fluidos, en cuyos principios se basa, por ejemplo, el gato hidráulico, de gran ayuda en levanta- miento de peso; termodinámica, que es importante porque nos permite entender los procesos de trans- ferencia de calor como forma de energía, cómo pro- ducir trabajo con ellas; Unidad II, electrostática; en la Unidad III, electrodinámica y electromagnetismo; y, por último, en la Unidad IV, corriente alterna, óptica y física moderna, en cuyas bases reposa toda la tecno- logía que hoy usamos. El manual es una guía que permitirá al estudiante conocer de manera didáctica, clara y lógica estos temas, desarrollar ejercicios y será un complemen- to a lo que el docente del curso desarrollará en su videoclase. Recuerde que este material, junto con las presentaciones animadas y las videoclases, son un todo y se complementan en la tarea de lograr que el alumno desarrolle las capacidades que plantea la materia. Se invita al alumno a participar y ser un constructor activo de su propio conocimiento. La Universidad, a través de esta modalidad, le dará las herramientas necesarias para lograrlo; solo le pedimos tiempo, paciencia y perseverancia. Lea primero su manual, desarrolle sus actividades, realice sus autoevaluacio- nes, vea las videoclases, cumpla con sus actividades y el éxito será suyo. La autora 10 DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA RESULTADO DE APRENDIZAJE Al término de la asignatura, el estudiante será capaz de interpretar los principios físicos del movimiento armónico simple, fluidos, termodinámica, electricidad, magnetismo, luz, óptica y la física relativista mediante los métodos de observación, conservación e interrelación con el medio ambiente, sustentado en un proyecto. UNIDADES DIDÁCTICAS UNIDAD I UNIDAD II Unidad III Unidad IV M.A.S., fluidos, ondas y termodinámica Electrostática Electrodinámica y electromagnetismo Corriente, óptica y física moderna. V Resultado de aprendizaje Resultado de aprendizaje Resultado de aprendizaje Resultado de aprendizaje Resolver ejercicios de movimiento armónico simple, mecánica de fluidos, ondas mecánicas y termodinámica, demostrando dominio teórico y las consideraciones del sistema internacional de medidas. Resolver problemas de carga eléctrica, campo eléctrico, ley de Gauss, potencial eléctrico, capacitancia y dieléctricos; empleando instrumentos, técnicas y fórmulas en un trabajo de laboratorio. Resolver ejercicios y problemas sustentado en los principios de la electrodinámica y electromagnetismo, empleando instrumentos, técnicas y fórmulas en un trabajo de laboratorio. Resolver ejercicios de corriente alterna y ondas electromagnéticas, tomando en cuenta los principios de la física moderna. TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO UNIDAD I UNIDAD II UNIDAD III UNIDAD IV Semana 1 y 2 24 horas Semana 3 y 4 24 horas Semana 5 y 6 24 horas Semana 7 y 8 24 horas 11 Física II MANUAL AUTOFORMATIVO INTERACTIVO UNIDAD I M.A.S., FLUIDOS, ONDAS y TERMODINÁMICA DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I CONTENIDOS AUTOEVALUACIÓN ACTIVIDADESBIBLIOGRAFÍA EJEMPLOS 12 ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES Resultado de aprendizaje de la Unidad I: Al finalizar la unidad, el estudiante será capaz de resolver ejercicios de movimiento armónico simple, mecánica de fluidos, ondas mecánicas y termodinámica demostrando dominio teórico y las consideraciones del sistema internacional de medidas. CONOCIMIENTOS HABILIDADES ACTITUDES Tema N.º 1: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE M.A.S. 1 ��Energía del m.a.s. 2 ��Aplicaciones del m.a.s. 3 ��Péndulo simple y físico Tema N.º 2: MECÁNICA DE FLUIDOS 1 ��Densidad y presión de un fluido 2 ��Principio de Pascal (manometría y vasos comunicantes) 3 ��Fuerza sobre superficies sumergidas 4 ��Principio de Arquímedes (flotación) 5 ��Hidrodinámica (flujo de fluidos) Lectura seleccionada N.º 1: “La medición del tiempo” Tema N.º 3: ONDAS MECÁNICAS 1 �Tipos de ondas mecánicas y ondas periódicas 2 ��Descripción matemática de una onda y rapidez de una onda transversal 3 ��Energía del movimiento ondulatorio 4 ��Ondas estacionarias en una cuerda 5 ��Sonido y el oído Tema N.º 4: TERMODINÁMICA 1 ��Temperatura y equilibrio térmico 2 �Calorimetría y cambio de fase 3 ��Energía interna y formas de variar la energía interna de una sustancia (transferencia de calor y desarrollando trabajo) 4 ��Primera ley de la termodinámica 5 ��Procesos termodinámicos Autoevaluación de la Unidad I • ��Utiliza instrumentos, técnicas y fórmulas para aplicar el m.a.s., mecánica de fluidos, ondas mecánicas y termodinámica. • ��Resuelve ejercicios de m.a.s., mecánica de fluidos, ondas mecánicas y termodinámica. • ��Realiza experimentos en laboratorio. • ��Redacta correctamente los informes de laboratorio. Actividad N.º 1 Los estudiantes resuelven ejercicios. Control de lectura N.º 1 Evaluación de los temas n.º 1, 2, 3 y 4 más los contenidos de las lecturas. • ��Toma conciencia del rol de ser estudiante universitario, de la puntualidad y respeto en el desarrollo de las clases. • ��Demuestra interés en los nuevos conocimientos y respeta la opinión de sus compañeros. • ��Juzga la importancia del cálculo en su quehacer cotidiano y profesional. • ��Trabaja individualmente y grupalmente. U N ID A D I TEM A N ° 1 13 Física II MANUAL AUTOFORMATIVO INTERACTIVO TEMA N° 1: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) En el Universo muchos fenómenos son cíclicos: las estaciones, las olas del mar. El hombre desde siempre ha querido conocer todo acerca de su entorno, como las vibraciones, el lapso del tiempo. En esta búsqueda Galileo descubrió la ley de péndulo, permitiendo así que posteriormente se creara el reloj de péndulo, un ejemplo clásico de este movimiento. Para iniciar el presente tema, se tiene presente que el movimiento armónico simple es la más sencilla represen- tación de una oscilación. Estudiaremos su definición, representación, características y aplicaciones. Para entender lo que significa el movimiento armónico simple, tenemos que recordar que un movimiento perió- dico es aquel que se repite en un periodo de tiempo y que se caracteriza por poseer un punto de equilibrio. Al sacarlo de este, existe una fuerza que lo retorna a su posición inicial en determinado tiempo. Si esta fuerza es proporcional al desplazamiento con respecto a su punto de equilibrio, entonces hablamos de m.a.s. Esto ocurre, por ejemplo, en los resortes ideales que obedecen a la ley de Hooke y cuya fuerza de restitución aplicada está representada por F=–Kx, siendo K la constante de restitución y x el desplazamiento. Una característica de este movimiento es que su desplazamiento puede ser representado con una función sinusoidal. Los elementos de este movimiento, son: a) � Amplitud (A): Es la distancia entre la posición de equilibrio y la distancia máxima que logra. b) � Posición de equilibrio: Centro del movimiento. c) � Periodo (T): Es lo que demora una oscilación completa, su unidad es el segundo. d) � Frecuencia (f): Número de oscilaciones en una unidad de tiempo, se da en Hz (s-1). e) � Frecuencia angular (w): Es 2π veces la frecuencia. (rad/s) f) � Ángulo Ф: ángulo donde se inicia el movimiento, tomado cuando el t=0, en relación con el eje x. Para determinar su representación matemática, se relacionó el movimiento armónico simple del resorte ideal con el del movimiento circular uniforme, llegando a demostrar ”que el movimiento armónico simple es la pro- yección del movimiento circular uniforme sobre un diámetro” (Young & Freedman, 2009) y encontrando que la frecuencia angular del m.a.s. era igual a la frecuencia angular del movimiento circular así: W=2πf Figura 1. La sombra de la esfera representa el movimiento de un objeto unido a un resorte ideal. Fuente: Young & Freedman, 2009, p. 422. 422 C APÍTU LO 13 Movimiento periódico ecuación para obtener el desplazamiento x en función del tiempo. Un cuerpo que está en movimiento armónico simple se denomina oscilador armónico. ¿Por qué es importante el movimiento armónico simple? Tenga presente que no todos los movimientos periódicos son armónicos simples; en el movimiento periódi- co en general, la relación entre la fuerza de restitución y el desplazamiento es más complicada que la ecuación (13.3). No obstante, en muchos sistemas, la fuerza de res- titución es aproximadamente proporcional al desplazamiento si éste es lo suficiente pequeño (figura 13.4). Es decir, si la amplitud es pequeña, las oscilaciones de tales sistemas son más o menos armónicas simples y, por lo tanto, la ecuación (13.4) las describe aproximadamente. Así, podemos usar el MAS como modelo aproximado de muchos movimientos periódicos distintos, como la vibración del cristal de cuarzo de un reloj de pulso, el movimiento de un diapasón, la corriente eléctrica en un circui- to de corriente alterna, y las vibraciones de los átomos en moléculas y sólidos. Movimiento circular y ecuaciones del MAS Para explorar las propiedades del movimiento armónico simple, debemos expresar el desplazamiento x del cuerpo oscilante en función del tiempo, x(t). La segunda deriva- da de esta función, d 2x>dt2, debe ser igual a (2k>m) multiplicado por la función mis- ma, como lo pide la ecuación (13.4). Como vimos, las fórmulas para aceleración constante de la sección 2.4 no son útiles aquí, porque la aceleración cambia constan- temente al cambiar el desplazamiento x. En cambio, obtendremos x (t) aprovechando la notable similitud entre el MAS y otra forma de movimiento que ya estudiamos de- talladamente. La figura 13.5a muestra la vista superior de un disco horizontal de radio A con una esfera pegada a su borde en el punto Q. El disco gira con rapidez angular constante v (que se mide en rad>s), así que la esfera tiene movimiento circular uniforme. Un haz de luz horizontal incide en el disco y proyecta la sombra de la esfera en una pantalla. La sombra en el punto P oscila conforme la esfera se mueve en un círculo. Luego ins- talamos un cuerpo sujeto a un resorte ideal, como la combinación de las figuras 13.1 y 13.2, de modo que el cuerpo oscile paralelo a la sombra. Demostraremos que el movi- miento del cuerpo y el movimiento de la sombra de la esfera son idénticos, cuando la amplitud de la oscilación del cuerpo es igual al radio del disco A, y si la frecuencia angular 2pf del cuerpo oscilante es igual a la rapidez angular v del disco. Esto es, el movimiento armónico simple es la proyección del movimiento circular uniforme so- bre un diámetro. Podemos comprobar esta notable afirmación calculando la aceleración de la sombra en P y comparándola con la aceleración de un cuerpo en MAS, dada por ... pero Fx 5 2kx puede ser una buena aproximación a la fuerza si el desplazamiento x es suficientemente pequeño. Caso ideal: La fuerza de restitución obedece la ley de Hooke (Fx 5 2kx), así que la gráfica de Fx contra x es una recta. Caso típico real: La fuerza de restitución se desvía de la ley de Hooke ... O Desplazamiento x Fuerza de restitución Fx 13.4 En casi todas las oscilaciones reales, se aplica la ley de Hooke dado que el cuerpo no se aleja tanto del equilibrio. En tal caso, las oscilaciones tienen amplitud pequeña y son casi armónicas simples. u Sombra de la esfera en la pantalla Sombra de la esfera Esfera en la tornamesa giratoria Mientras en la tornamesa la esfera Q se mueve con movimiento circular uniforme, su sombra P se mueve de un lado a otro en movimiento armónico simple en la pantalla. Pantalla vertical iluminada Iluminación Mesa Haz de luz A A 2A O P Q La esfera se mueve de un lado a otro sobre el eje = x con movimiento circular uniforme. La sombra oscila en MAS sobre el eje x. a) Aparato para crear el círculo de referencia b) Representación abstracta del movimiento en a) O P A y x Q x �A cos uv 13.5 a) Relación entre movimiento circular uniforme y movimiento armónico simple. b) La sombra de la esfera se mueve exactamente como un cuerpo que oscila unido a un resorte ideal. U N ID A D I T EM A N ° 1 14 Además, se descubrió que la rapidez angular está relacionada con la constante de la fuerza y la masa del objeto así: o bien, m kω2 = m k√ω = Si la última expresión es multiplicada por el periodo ωT=T√K/m, pero T=1/f y ω=2πf, entonces reemplazando quedaría T=2π√m/K. La representación matemática del desplazamiento por ser sinusoidal puede ser representada con la función sen o cos, tomando en cuenta la siguiente relación: Cos α= sen (α + π/2) Tomando la representación usada por Hugh Young, para desplazamiento tenemos: X=A cos(wt+Ф) recordando que wt+Ф= θ Donde A= amplitud, w=frecuencia angular, t=tiempo Ф= ángulo de fase. Figura 2. Representación de movimiento armónico simple. Fuente: Young & Freedman, 2009, p. 425. Derivando la expresión de x, la velocidad será: dx/dt =V=-wAsen(wt+Ф) Otra expresión de velocidad que podemos usar es la siguiente: 2 2 x kv A X m = ± − Cuando la velocidad es máxima, el desplazamiento es cero, entonces tenemos: Vmax=ωA 13 .2 Movimiento armónico simple 425 m F 5 6.0 N a) b) x 5 0 x 5 0.020 m m 5 0.50 kg x x 5 0 x 5 0.030 m x 13.8 a) La fuerza ejercida sobre el resorte (indicada por el vector F) tiene componente x: Fx 5 16.0 N. La fuerza ejercida por el resorte tiene componente x: Fx 5 26.0 N. b) Un deslizador está unido al mismo resorte y se le permite oscilar. b) Usando m 5 0.50 kg en la ecuación (13.10), vemos que La frecuencia f es El periodo T es el recíproco de la frecuencia f: El periodo por lo regular se da en “segundos”, en vez de en “segundos por ciclo”. EVALUAR: La amplitud de la oscilación es de 0.020 m, la distancia a la derecha que movimos el deslizador conectado al resorte antes de soltarlo. No necesitamos esta información para calcular la frecuencia angular, la frecuencia ni el periodo porque, en el MAS, ninguna de esas cantidades depende de la amplitud. T 5 1 f 5 1 3.2 ciclos/s 5 0.31 s f 5 v 2p 5 20 rad/s 2p rad/ciclo 5 3.2 ciclos/s 5 3.2 Hz v 5 Å k m 5 Å 200 kg/s2 0.50 kg 5 20 rad/s Desplazamiento, velocidad y aceleración en el MAS Aún necesitamos obtener el desplazamiento x en función del tiempo para un oscilador armónico. La ecuación (13.4) para un cuerpo en movimiento armónico simple en el eje x es idéntica a la ecuación (13.8), para la coordenada x del punto de referencia en movimiento circular uniforme con rapidez angular constante Se sigue que la ecuación (13.5), x 5 A cos u, describe la coordenada x para ambas situaciones. Si, en t 5 0, el fasor OQ forma un ángulo f (letra griega phi) con el eje 1x, entonces en cualquier instante posterior t, este ángulo será u 5 vt 1 f. Sustituimos esto en la ecuación (13.5) para obtener (13.13) donde La figura 13.9 muestra una gráfica de la ecuación (13.13) para el caso específico en que f 5 0. El desplazamiento x es una función periódica de t, como se espera en el MAS. También podríamos haber escrito la ecuación (13.13) en términos de la función seno en vez de coseno, usando la identidad cos a 5 sen(a 1 p>2). En el movimiento armónico simple, la posición es una función periódica senoi- dal del tiempo. Hay muchas otras funciones periódicas, pero ninguna tan continua y simple como una función seno o coseno. El valor del coseno siempre está entre 21 y 1, así que en la ecuación (13.13) x siempre está entre 2A y A. Esto confirma que A es la amplitud del movimiento. El periodo T es lo que tarda un ciclo de oscilación (figura 13.9). La función coseno se repite cada vez que la cantidad entre paréntesis de la ecuación (13.13) aumenta en 2p radianes. Si comenzamos en t 5 0, el tiempo T para completar un ciclo está dado por vT 5 Å k m T 5 2p o bien, T 5 2p Å m k v 5 "k/m . x 5 A cos (vt 1 f) (desplazamiento del MAS) v 5 "k/m . 1 2 x 2T tO xmáx 5 A T T 1 2 T 2xmáx 5 2A 13.9 Gráica de x en función de t [véase la ecuación (13.13)] para el movimiento armónico simple. El caso que se muestra tiene f 5 0. EJECUTAR: a) Cuando x 5 0.030 m, la fuerza que el resorte ejerce so- bre la balanza de resorte es Fx 5 26.0 N. Por la ecuación (13.3), k 5 2 Fx x 5 2 26.0 N 0.030 m 5 200 N/m 5 200 kg/s2 9.1 Ecuaciones y gráficas de posición 9.2 Descripción del movimiento vibratorio 9.5 Mono tira a Tarzán O N L I N E U N ID A D I TEM A N ° 1 15 Física II MANUAL AUTOFORMATIVO INTERACTIVO 1. ENE RGÍA EN EL M.A.S.: Supongamos que un resorte ideal está ubicado de forma que su único desplazamiento es horizontal y que no existe trabajo en el eje y; la masa al final del resorte tiene peso despreciable y su fuerza es conservativa. En estas condiciones, la energía cinética está dada por Ec=½ m vx 2 y la energía potencial U=1/2 kx2; ya que la fuerza es conservativa, podemos afirmar que la energía total no varía, así tenemos: = constante1 2 mv kx2E = 1 2 +2 x Cuando x=A, que es el desplazamiento máximo, la velocidad se hace cero, por lo que la expresión quedaría: E= ½ k A2 y esta es una constante. 2. APLICACIONES DEL M.A.S.: El m.a.s. se puede aplicar en cualquier sistema en el que exista una fuerza de restitución directamente propor- cional al desplazamiento con respecto al equilibrio (F=-Kx). Veamos los siguientes casos: 2.1. M.A.S. VERTICAL: Se da cuando cuelga un resorte con un cuerpo de masa en el extremo. Para este sistema en equilibrio, se cum- ple: KΔl=mg Figura 3. Representación gráfica del m.a.s. vertical. Fuente: Young & Freedman, 2009, p. 433. 13 .4 Aplicaciones del movimiento armónico simple 433 l a) l Dl x 5 0 mg F 5 k Dl mg F 5 k (Dl 2 x) l x Dl 2 xUn resorte colgante que obedece la ley de Hooke b) Cuerpo suspendido del resorte. Está en equilibrio cuando el resorte está estirado lo suficiente como para que la fuerza hacia arriba del resorte tenga la misma magnitud que el peso del objeto. c) Si el cuerpo se mueve con respecto al equilibrio, la fuerza neta sobre él será proporcional a su desplazamiento. Las oscilaciones son las de un MAS. 13.17 Un cuerpo se adhiere a un resorte colgante. F 5 kDl mg Dl Un resorte que obedece la ley de Hooke Se coloca un cuerpo en la parte superior del resorte, y está en equilibrio cuando la fuerza hacia arriba ejercida por el resorte comprimido es igual al peso del cuerpo. 13.18 Si el peso mg comprime el resorte una distancia Dl, la constante de fuerza es k 5 mg>Dl y la frecuencia angular para un MAS vertical es ; igual que si el cuerpo estuviera suspendido del resorte (véase la figura 13.17). v 5 "k/m esto es, una fuerza total hacia abajo de magnitud kx. Asimismo, cuando el cuerpo está debajo de la posición de equilibrio, hay una fuerza total hacia arriba de magnitud kx. En ambos casos, hay una fuerza de restitución de magnitud kx. Si el cuerpo se pone en movimiento vertical, oscilará en MAS con la misma frecuencia angular que si fue- ra horizontal, Por lo tanto, el MAS vertical no difiere en su esencia del horizontal. El único cambio real es que la posición de equilibrio x 5 0 ya no corres- ponde al punto donde el resorte no está estirado. Las mismas ideas son válidas cuan- do un cuerpo con peso mg se coloca sobre un resorte compresible (figura 13.18) y lo comprime una distancia Dl. v 5 "k/m . Ejemplo 13.6 MAS vertical en un automóvil viejo Los amortiguadores de un automóvil viejo con masa de 1000 kg están gastados. Cuando una persona de 980 N se sube lentamente al auto en su centro de gravedad, el auto baja 2.8 cm. Cuando el auto, con la per- sona a bordo, cae en un bache, comienza a oscilar verticalmente en MAS. Modele el auto y la persona como un solo cuerpo en un solo re- sorte, y calcule el periodo y la frecuencia de la oscilación. SOLUCIÓN IDENTIFICAR: La situación es similar a la de la figura 13.18. PLANTEAR: La compresión del resorte cuando se agrega el peso adi- cional nos da la constante de fuerza, que podemos usar para obtener el periodo y la frecuencia (las incógnitas). EJECUTAR: Cuando la fuerza aumenta en 980 N, el resorte se compri- me otros 0.028 m, y la coordenada x del auto cambia en 20.028 m. Por lo tanto, la constante de fuerza efectiva (incluido el efecto de toda la suspensión) es k 5 2 Fx x 5 2 980 N 20.028 m 5 3.5 3 104 kg/s2 La masa de la persona es w>g 5 (980 N)>(9.8 m>s2) 5 100 kg. La ma- sa oscilante total es m 5 1000 kg 1 100 kg 5 1100 kg. El periodo T es y la frecuencia es EVALUAR: Una oscilación persistente con un periodo aproximado de un segundo es muy molesta. El propósito de los amortiguadores es eli- minar tales oscilaciones (véase la sección 13.7). f 5 1 T 5 1 1.11 s 5 0.90 Hz T 5 2p Å m k 5 2p Å 1100 kg 3.5 3 104 kg/s2 5 1.11 s MAS angular La figura 13.19 muestra la rueda de balance de un reloj mecánico. La rueda tiene un momento de inercia I alrededor de su eje. Un resorte en espiral ejerce una torca de restitución tz proporcional al desplazamiento angular u con respecto a la posición de equilibrio. Escribimos tz 5 2ku, donde k (la letra griega kappa) es una cons- tante llamada constante de torsión. Empleando la analogía rotacional de la segunda U N ID A D I T EM A N ° 1 16 Cuando el cuerpo se mueve hacia arriba y el desplazamiento es Δl- x, la fuerza neta será la siguiente: Fnet = k(∆l - x) + ( - mg) = -kx Lo mismo ocurrirá si el cuerpo se desplaza hacia abajo. En este caso vemos que la fuerza es proporcional a Kx, entonces estamos frente a un m.a.s. 2.2. � M.A.S. ANGULAR: Por ejemplo, sucede en la rueda de balance de un reloj mecánico. Young & Freedman (2009) explican lo siguiente: La rueda tiene un momento de inercia I alrededor de su eje. Un resorte en espiral ejerce una torca de restitución tz proporcional al desplazamiento angular θ con respecto a la posición de equilibrio. Escribimos tz= -kθ, donde k (la letra griega kappa) es una constante llamada “constante de torsión (p. 433). Figura 4. Representación de una rueda de balance. Fuente: Young & Freedman, 2009, pg. 434. Usando una analogía con la segunda ley de Newton, el movimiento queda representado por: K K Fórmula que resulta igual a la de la aceleración en el movimiento armónico simple. 3. � PÉNDULO SIMPLE Y FÍSICO: 3.1. �Péndulo simple Es un sistema formado por una pequeña masa atada al extremo de una cuerda de peso despreciable, que oscila en el plano vertical en un ángulo muy pequeño. Debido a esto su desplazamiento es un arco de radio l. 434 C APÍTU LO 13 Movimiento periódico ley de Newton para un cuerpo rígido, la ecuación del movi- miento es La forma de esta ecuación es idéntica a la de la ecuación (13.4) para la aceleración en movimiento armónico simple, sustituyendo x por u y k>m por k>I. Así, estamos tratan- do con una forma de movimiento armónico simple angular. La frecuencia angular v y la frecuencia f están dadas por las ecuaciones (13.10) y (13.11), respectivamente, con la misma sustitución: (13.24) El movimiento está descrito por la función donde U (theta mayúscula) juega el rol de una amplitud angular. Es bueno que el movimiento de una rueda de balance sea armónico simple. Si no lo fuera, la frecuencia podría depender de la amplitud, y el reloj se adelantaría o se re- trasaría, al ir disminuyendo la tensión del resorte. *Vibraciones de moléculas En la siguiente explicación de las vibraciones de las moléculas se usa el teorema bi- nomial. Si el estudiante no está familiarizado con dicho teorema, le recomendamos estudiar la sección adecuada de su libro de matemáticas. Si dos átomos están separados menos de unos cuantos diámetros atómicos, pueden ejercer fuerzas de atracción entre sí. Por otro lado, si los átomos están tan cercanos que se traslapan sus capas electrónicas, las fuerzas entre ellos son de repulsión. Entre estos límites, hay una separación de equilibrio donde los átomos forman una molécula. Si los átomos se desplazan ligeramente del equilibrio, oscilarán. Como ejemplo, consideremos un tipo de interacción entre átomos llamada interac- ción de Van der Waals. Nuestro objetivo inmediato es estudiar las oscilaciones, así que no entraremos en detalles con respecto al origen de la interacción. Tomemos el centro de un átomo como el origen; el otro estará a una distancia r (figura 13.20a). La distancia de equilibrio entre los centros es r 5 R0. Se ha observado experimentalmen- te que tal interacción se puede describir con la función de energía potencial (13.25)U 5 U0 S 1R0 r 2 12 2 2 1R0 r 2 6 T u 5 U cos 1vt 1 f 2 v 5 Å k I y f 5 1 2p Å k I 1MAS angular 2 2ku 5 Ia o bien, d 2u dt 2 5 2 k I u Stz 5 Iaz 5 I d 2u/dt 2, 10U0/R0 210U0/R0 5U0/R0 25U0/R0 c) La fuerza Fr en función de r R0 rO 1.5R0 2R0 FrU 2U0 U(r ) Fr(r )Parábola U0 R0 r 2U0 22U0 O 1.5R0 2R0 b) Energía potencial U del sistema de dos átomos en función de r r a) Sistema de dos átomos Átomos Fr 5 Fuerza ejercida sobre el átomo derecho por el izquierdo. Distancia entre los centro de los átomos. El punto de equilibrio está en r 5 R0 (donde Fr es cero). El punto de equilibrio está en r 5 R0 (donde U es mínima). Cerca del equilibrio, U puede aproximarse con una parábola. Cerca del equilibrio, Fr se puede aproximar con una recta. 13.20 a) Dos átomos con sus centros separados una distancia r. b) La energía potencial U de la interacción de Van der Waals en función de r. c) La fuerza Fr sobre el átomo derecho en función de r. utz ResorteRueda de balance La torca del resorte tz se opone al desplazamiento angular u. 13.19 Rueda de balance de un reloj mecánico. El resorte ejerce una torca de restitución que es proporcional al despla- zamiento angular u, por lo tanto, el movimiento es MAS angular. U N ID A D I TEM A N ° 1 17 Física II MANUAL AUTOFORMATIVO INTERACTIVO Figura 5. Diagrama de fuerzas de un péndulo simple. Fuente: Young & Freedman, 2009, p. 436. La fuerza de restitución es tangencial al movimiento, si bien no es proporcional directamente a θ, lo es a senθ, pero debido a que θ es muy pequeño, senθ es casi θ Y: Fr=- mgsenθ quedaría: Fr=-mgθ= -mgx/l lo que la hace proporcional al desplazamiento para ángulos muy pequeños, por lo que se cumpliría también: (péndulo simple, amplitud pequeña) ω = = = 2π ω 2π 1f = k mg|L m g L g L m (péndulo simple, amplitud pequeña) Fuente: Young & Freedman, 2009, p. 437. 3.2. � Péndulo físico Es un péndulo real que usa un cuerpo de masa finita. Si las oscilaciones son pequeñas, su comportamiento será parecido al de un péndulo simple; en este caso, la masa gira alrededor de un eje sin fricción y en equilibrio. Asimismo, su centro de gravedad se encuentra debajo del pivote y, cuando la masa se desplaza, genera un torque de restitución igual a: 436 C APÍTU LO 13 Movimiento periódico 13.5 El péndulo simple Un péndulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual sus- pendida de un cordón sin masa y no estirable. Si la masa se mueve a un lado de su po- sición de equilibrio (vertical), oscilará alrededor de dicha posición. Situaciones ordinarias, como una bola de demolición en el cable de una grúa o un niño en un co- lumpio (figura 13.21a) pueden modelarse como péndulos simples. La trayectoria de la masa puntual (llamada en ocasiones pesa o lenteja) no es una recta, sino el arco de un círculo de radio L igual a la longitud del cordón (figura 13.21b). Usamos como coordenada la distancia x medida sobre el arco. Si el movi- miento es armónico simple, la fuerza de restitución debe ser directamente proporcio- nal a x, o bien (porque x 5 Lu), a u. ¿Lo es? En la figura 13.21b, representamos las fuerzas que actúan sobre la masa en térmi- nos de componentes tangencial y radial. La fuerza de restitución Fu es la componente tangencial de la fuerza total: (13.30) La fuerza de restitución se debe a la gravedad; la tensión T sólo actúa para hacer que la masa puntual describa un arco. La fuerza de restitución es proporcional no a u sino a sen u, así que el movimiento no es armónico simple. Sin embargo, si el ángulo u es pequeño, sen u es casi igual a u en radianes (figura 13.22). Por ejemplo, si u 5 0.1 rad (unos 6°), sen u 5 0.0998, una diferencia de sólo 0.2%. Con esta aproximación, la ecuación (13.30) se convierte en o (13.31)Fu 5 2 mg L x Fu 5 2mgu 5 2mg x L Fu 5 2mg sen u La fuerza de restitución sobre la lenteja es proporcional a sen u, no a u. Sin embargo, para valores de u, sen u ^ u, de manera que el movimiento es aproximadamente armónico simple. La lenteja se modela como una masa puntual. a) Un péndulo real b) Un péndulo simple idealizado L T x mg sen u mg mg cos u m u u El cordón se supone sin masa y no estirable. 13.21 Dinámica de un péndulo simple. Evalúe su comprensión de la sección 13.4 Un bloque unido a un resorte ideal colgante oscila verticalmente con un periodo de 10 s en la Tierra. Si usted se lleva el bloque y el resorte a Marte, donde la aceleración debida a la gravedad es sólo el 40% de la terrestre, ¿cuál será el nuevo periodo de oscilación? i) 10 s: ii) más de 10 s; iii) menos de 10 s. ❚ PLANTEAR: Puesto que las oscilaciones son pequeñas, podemos usar la ecuación (13.11) para obtener la frecuencia del movimiento armóni- co simple. La constante de fuerza está dada por la ecuación (13.29). EJECUTAR: La constante de fuerza es Ésta es comparable a la constante de fuerza de los resortes de juguete laxos, como Slinky®. De la tabla periódica de los elementos (véase el Apéndice D), la masa atómica media del argón es Si uno de los átomos está fijo y el otro oscila, la frecuencia de oscila- ción es f 5 1 2p Å k m 5 1 2p Å 0.829 N/m 6.63 3 10226 kg 5 5.63 3 1011 Hz 139.948 u 2 1 1.66 3 10227 kg/1 u 2 5 6.63 3 10226 kg. k 5 72U0 R0 2 5 72 1 1.68 3 10221 J 2 1 3.82 3 10210 m 2 2 5 0.829 J/m2 5 0.829 N/m La masa oscilante es muy pequeña, así que incluso un resorte laxo cau- sa oscilaciones muy rápidas. EVALUAR: Sin embargo, la f que calculamos no es del todo correcta. Si no actúa una fuerza externa neta sobre la molécula, su centro de ma- sa (situado a la mitad de la distancia entre los dos átomos) no tiene aceleración. Para que haya aceleración, ambos átomos deben oscilar con la misma amplitud en direcciones opuestas. Nos podemos dar cuenta de esto sustituyendo m por m>2 en la expresión para f. (Véase el problema 13.86.) Esto aumenta f en un factor de así que Una complicación adicional es que, para la escala atómica, debemos usar mecánica cuántica, no newtoniana, para describir la oscilación y otros movimientos; feliz- mente, la frecuencia tiene el mismo valor en mecánica cuántica. "2 15.63 3 1011 Hz 2 5 7.96 3 1011 Hz. f 5"2 , U N ID A D I T EM A N ° 1 18 Figura 6. Péndulo físico. Fuente: Young & Freeman, 2009, p. 438. Tz = - (mg)(dsenθ) Cuando θ es muy pequeño y senθ=θ, entonces: t=-(mgd) θ. 438 C APÍTU LO 13 Movimiento periódico 13.6 El péndulo físico Un péndulo físico es cualquier péndulo real que usa un cuerpo de tamaño finito, en contraste con el modelo idealizado de péndulo simple en el que toda la masa se con- centra en un punto. Si las oscilaciones son pequeñas, el análisis del movimiento de un péndulo real es tan sencillo como el de uno simple. La figura 13.23 muestra un cuer- po de forma irregular que puede girar sin fricción alrededor de un eje que pasa por el punto O. En la posición de equilibrio, el centro de gravedad está directamente abajo del pivote; en la posición mostrada en la figura, el cuerpo está desplazado del equili- brio un ángulo u que usamos como coordenada para el sistema. La distancia de O al centro de gravedad es d, el momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rota- ción es I y la masa total es m. Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra, el peso mg causa una torca de restitución (13.36) El signo negativo indica que la torca de restitución es en sentido horario, si el despla- zamiento es en sentido antihoriario, y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio. El movimien- to no es armónico simple porque la torca tz es proporcional a sen u, no a u. No obstan- te, si u es pequeño, podemos aproximar sen u con u en radianes, tal como lo hicimos al analizar el péndulo simple. De esta manera, el movimiento es aproximadamente ar- mónico simple. Con esta aproximación: La ecuación de movimiento es así que (13.37) Si comparamos esto con la ecuación (13.4), vemos que el papel de (k>m) en el sistema masa-resorte lo desempeña aquí la cantidad (mgd>I). Por lo tanto, la frecuencia angu- lar está dada por (13.38) La frecuencia f es 1>2p veces esto, y el periodo T es (13.39) La ecuación (13.39) es la base de un método común para determinar experimental- mente el momento de inercia de un cuerpo de forma compleja. Primero, se localiza el centro de gravedad del cuerpo por balanceo. Luego, se suspende el cuerpo de modo que oscile libremente alrededor de un eje, y se mide el periodo T de oscilaciones de amplitud pequeña. Por último, usando la ecuación (13.39) puede calcularse el mo- T 5 2p Å I mgd (péndulo físico, amplitud pequeña) v 5 Å mgd I (péndulo físico, amplitud pequeña) d 2u dt 2 5 2 mgd I u 2 1mgd 2 u 5 Iaz 5 I d 2u dt 2 gtz 5 Iaz , tz 5 2 1mgd 2 u tz 5 2 1mg 2 1 d sen u 2 13.23 Dinámica de un péndulo físico. Evalúe su comprensión de la sección 13.5 Cuando un cuerpo que oscila en un resorte horizontal pasa por su posición de equilibrio, su aceleración es cero (véase la figura 13.2b). Cuando la lenteja de un péndulo oscilatorio simple pasa por su posición de equilibrio, ¿su aceleración también es cero? ❚ U N ID A D I TEM A N ° 2 19 Física II MANUAL AUTOFORMATIVO INTERACTIVO TEMA N° 2: MECÁNICA DE FLUIDOS La mecánica de fluidos es la parte de la física que se ocupa del estudio del comportamiento de los fluidos en re- poso o en movimiento. Muchas de las leyes que gobiernan este ámbito han permitido con el tiempo el desarrollo de tecnologías como la gata hidráulica, los ascensores hidráulicos, puentes levadizos, avances que no hubiesen sido posibles sin el descubrimiento de estos principios. Los fluidos son sustancias con poca fuerza de enlace entre sus moléculas, lo que les da como característica la fluidez, que consiste en la propiedad de cambiar de forma constante cuando están sometidos a un esfuerzo cor- tante. La facilidad con la que un fluido se mueva nos dará lo que llamamos viscosidad. Son considerados fluidos los líquidos y los gases. Ahora empezaremos con estática de los fluidos que estudia fluidos en reposo y conoceremos algunas de sus propiedades. 1. �DEN SIDAD Y PRESIÓN: 1.1. D ensidad: Está definida como la masa sobre el volumen. Se aplica a todos los materiales sin importar su estado, así puede determinar la densidad del acero o del hielo. Cuando la constitución de un material es homogénea, el valor de la densidad será una constante en todo el compuesto. Se denota con el símbolo griego ρ, y su unidad en el sistema internacional es Kg/m3. ρ=m/V Tabla 1 Densidad de algunos materiales Fuente: Young & Freedman, 2009, p. 457. 14 .1 Densidad 457 Tabla 14.1 Densidades de algunas sustancias comunes Material Densidad (kg>m3)* Material Densidad (kg>m3)* Aire (1 atm, 20°C) 1.20 Hierro, acero 7.8 3 103 Etanol 0.81 3 103 Latón 8.6 3 103 Benceno 0.90 3 103 Cobre 8.9 3 103 Hielo 0.92 3 103 Plata 10.5 3 103 Agua 1.00 3 103 Plomo 11.3 3 103 Agua de mar 1.03 3 103 Mercurio 13.6 3 103 Sangre 1.06 3 103 Oro 19.3 3 103 Glicerina 1.26 3 103 Platino 21.4 3 103 Concreto 2 3 103 Estrella enana blanca 1010 Aluminio 2.7 3 103 Estrella de neutrones 1018 *Para obtener las densidades en gramos por centímetro cúbico, divida entre 103. La unidad de densidad en el SI es el kilogramo por metro cúbico (1 kg>m3). Tam- bién se usa mucho la unidad cgs, gramo por centímetro cúbico (1 g>cm3): En la tabla 14.1, se indican las densidades de varias sustancias comunes a temperatu- ras ordinarias. Observe la amplia gama de magnitudes (figura 14.2). El material más denso que se encuentra en la Tierra es el metal osmio (r 5 22,500 kg>m3), pero esto no es nada en comparación con la densidad de los objetos astronómicos exóticos, como las estrellas enanas blancas y las estrellas de neutrones. La gravedad específica de un material es la razón entre su densidad y la del agua a 4.0°C, 1000 kg>m3; es un número puro, sin unidades. Por ejemplo, la gravedad es- pecífica del aluminio es 2.7. Aunque el término “gravedad específica” es inadecua- do, ya que nada tiene que ver con la gravedad; habría sido mejor utilizar el término “densidad relativa”. La densidad de algunos materiales varía de un punto a otro dentro del material. Un ejemplo es el material del cuerpo humano, que incluye grasa de baja densidad (940 kg>m3 aproximadamente) y huesos de elevada densidad (de 1700 a 2500 kg>m3). Otros dos ejemplos son la atmósfera terrestre (que es menos densa a mayores altitu- des) y los océanos (que son más densos a mayores profundidades). Para estos mate- riales, la ecuación (14.1) describe la densidad media. En general, la densidad de un material depende de factores ambientales, como la temperatura y la presión. La medición de la densidad es una técnica analítica importante. Por ejemplo, po- demos determinar el nivel de carga de un acumulador midiendo la densidad de su electrólito, que es una disolución de ácido sulfúrico (H2SO4). Al descargarse la bate- ría, el H2SO4 se combina con el plomo de las placas del acumulador para formar sul- fato de plomo (PbSO4) insoluble, lo que reduce la concentración de la disolución. La densidad baja de cerca de 1.30 3 103 kg>m3 en un acumulador completamente carga- do a 1.15 3 103 kg>m3 en uno descargado. Otro ejemplo relacionado con automóviles es el anticongelante permanente, que por lo general es una disolución de etilén glicol (r 5 1.12 3 103 kg>m3) y agua. El punto de congelación de la disolución depende de la concentración de glicol, y puede determinarse midiendo su gravedad específica. Tales mediciones se realizan en forma rutinaria en los talleres de servicio para automóviles usando un dispositivo llamado hidrómetro, el cual describiremos en la sección 14.3. 1 g/cm3 5 1000 kg/m3 14.2 El precio del oro se cotiza por peso (digamos, en dólares por onza). Puesto que el oro es uno de los metales más densos, es posible almacenar una fortuna en oro en un volumen pequeño. Ejemplo 14.1 Peso de un cuarto lleno de aire Calcule la masa y el peso del aire en una estancia a 20 8C cuyo piso mide 4.0 m 3 5.0 m y que tiene una altura de 3.0 m. ¿Qué masa y peso tiene un volumen igual de agua? SOLUCIÓN IDENTIFICAR: Suponemos que el aire es homogéneo, así que la densi- dad es la misma en todo el cuarto. (Es verdad que el aire es menos den- continúa U N ID A D I T EM A N ° 2 20 La densidad en algunos materiales no es homogénea y puede variar en algunas partes del mismo; en estos casos se toma una densidad media. Por otro lado, es necesario considerar que otros factores influyen en la densidad de los materiales como la pre- sión y la temperatura. Una medida que se usa y tiene relación con la densidad es la gravedad específica que es la relación entre la densidad del material y la del agua. 1.2. Presión: Podemos definir presión como la magnitud física que mide la fuerza perpendicular por unidad de área. Recorde- mos que en los fluidos en reposo contenidos en un recipiente ejercen una fuerza perpendicular a las paredes del mismo. El símbolo que representa la presión es P, y su unidad en el sistema internacional es el Pascal (Pa):N/m2. P=F/A A continuación, veremos los tipos de presión: 1.2.1. �Presión atmosférica: Se define como la presión ejercida por la columna de aire de la superficie terrestre en un área determinada, esta varia con la ubicación geográfica, el tiempo y la temperatura. La unidad más usada antes era mm de Hg (milímetro de mercurio), aunque ahora se uniformizado a Pascales. � Así tenemos que la presión atmosférica en Lima será mayor que en Puno debido a la altitud (msnm), esto debido a que “en capas bajas cerca de la superficie la disminución de la presión con la altura es de aproxi- madamente 1hPa cada 8m. Esta relación va disminuyendo a medida que la altura aumenta” (Peru, 2016). 1.2.2. �Presión hidrostática: “Es aquella ejercida por los líquidos en reposo sobre objetos sumergidos en su interior” (Tf, 2010). 1.2.3. �Presión manométrica: Es la diferencia entre presión absoluta y la presión atmosférica; si esta fuera ne- gativa, estamos frente a una presión en vacío. 2. PRINCIPIO DE PASCAL Hemos visto cuando se hablaba de presión atmosférica que esta varía con la altura. Ahora analicemos lo que pasa en un recipiente con líquido, suponiendo que la gravedad y la temperatura son constantes en el recipiente y el líquido: Figura 7. Representación de un recipiente con líquido. Fuente: Young & Freedman, 2009, p. 460. 460 C APÍTU LO 14 Mecánica de fluidos La diferencia de presión entre los niveles 1 y 2: La presión es mayor en un nivel más bajo. p2 2 p1 5 2rg(y2 2 y1) A una profundidad h, la presión p es igual a la presión sobre la superficie p0 más la presión rgh debida al fluido que hay encima: p 5 p0 1 rgh. p2 5 p0 p1 5 p y1 y2 y2 2 y1 5 h 2 1 Fluido, densidad r 14.6 Cómo varía la presión en función de la profundidad en un fluido con densidad uniforme. Esta ecuación indica que si y aumenta, p disminuye; es decir, conforme se sube por el fluido, la presión disminuye, como esperaríamos. Si p1 y p2 son las presiones en las alturas y1 y y2 respectivamente, y si r y g son constantes, entonces (presión en un fluido de densidad uniforme) (14.5) Suele ser útil expresar la ecuación (14.5) en términos de la profundidad bajo la su- perficie de un fluido (figura 14.6). Tomemos el punto 1 en cualquier nivel en el fluido y sea p la presión en ese punto. Tomemos el punto 2 en la superficie del fluido, donde la presión es p0 (el subíndice indica profundidad cero). La profundidad del punto 1 bajo la superficie es h 5 y2 2 y1, y la ecuación (14.5) se convierte en (presión en un fluido de densidad uniforme) (14.6) La presión p a una profundidad h es mayor que la presión p0 en la superficie, en una cantidad rgh. Observe que la presión es la misma en dos puntos cualesquiera situados en el mismo nivel en el fluido. La forma del recipiente no importa (figura 14.7). La ecuación (14.6) nos dice que si aumentamos la presión p0 en la superficie, tal vez usando un pistón que embona herméticamente en el recipiente para empujar con- tra la superficie del fluido, la presión p a cualquier profundidad aumenta exactamente en la misma cantidad. El científico francés Blaise Pascal (1623-1662) reconoció este hecho en 1653 y lo enunció en la llamada ley de Pascal. Ley de Pascal: la presión aplicada a un fluido encerrado se transmite sin disminu- ción a todas las partes del fluido y las paredes del recipiente. El elevador hidráulico que se representa en la figura 14.8 ilustra la ley de Pascal. Un pistón con área transversal pequeña A1 ejerce una fuerza F1 sobre la superficie de un líquido (aceite). La presión aplicada p 5 F1>A1 se transmite a través del tubo co- nector a un pistón mayor de área A2. La presión aplicada es la misma en ambos cilin- dros, así que (14.7) El elevador hidráulico es un dispositivo multiplicador de la fuerza con un factor de multiplicación igual al cociente de las áreas de los pistones. Las sillas de los dentistas, los gatos hidráulicos para autos, muchos elevadores y los frenos hidráulicos se basan en este principio. En el caso de los gases, el supuesto de que la densidad r es uniforme sólo es rea- lista en distancias verticales cortas. En un cuarto de 3.0 m de altura lleno de aire con densidad uniforme de 1.2 kg>m3, la diferencia de presión entre el piso y el techo, da- da por la ecuación (14.6), es es decir, cerca de 0.00035 atm, una diferencia muy pequeña. En cambio, entre el nivel del mar y la cumbre del Monte Everest (8882 m) la densidad del aire cambia casi en un factor de 3, y en este caso no podemos usar la ecuación (14.6). Los líquidos, en cambio, son casi incompresibles, y suele ser una buena aproximación considerar su densidad como independiente de la presión. Una presión de varios cientos de atmós- feras sólo causa un pequeño incremento porcentual en la densidad de la mayoría de los líquidos. Presión absoluta y presión manométrica Si la presión dentro de un neumático es igual a la presión atmosférica, el neumático estará desinflado. La presión debe ser mayor que la atmosférica para poder sostener el vehículo, así que la cantidad significativa es la diferencia entre las presiones interior y exterior. Cuando decimos que la presión de un neumático es de “32 libras” (en reali- dad 32 lb>in2, igual a 220 kPa o 2.2 3 105 Pa), queremos decir que es mayor que la rgh 5 11.2 kg/m3 2 1 9.8 m/s2 2 1 3.0 m 2 5 35 Pa p 5 F1 A1 5 F2 A2 y F2 5 A2 A1 F1 p 5 p0 1 rgh p0 2 p 5 2rg 1 y2 2 y1 2 5 2rgh o bien, p2 2 p1 5 2rg 1 y2 2 y1 2 La presión en la parte inferior de cada columna de líquido tiene la misma presión p. La presión en la parte superior de cada columna de líquido es la presión atmosférica, p0. La diferencia entre p y p0 es rgh, donde h es la distancia que hay de la parte superior a la parte inferior de la columna de líquido. Por lo tanto, todas las columnas tienen la misma altura. 14.7 Todas las columnas de fluido tienen la misma altura, sin importar cuál sea su forma. F2 pA2 F1 pA1 Se aplica una fuerza pequeña en este lado. 1 Al actuar sobre un pistón con una mayor área, la presión produce una fuerza capaz de sostener el automóvil. 3 La presión p tiene el mismo valor en todos los puntos a la misma altura en el fluido (ley de Pascal). 2 14.8 El elevador hidráulico es una aplicación de la ley de Pascal. El tamaño del recipiente lleno de fluido se ha exagerado por claridad. U N ID A D I TEM A N ° 2 21 Física II MANUAL AUTOFORMATIVO INTERACTIVO Tenemos un objeto a una altura y1 del fondo del recipiente y a una distancia y2-y1=h de la superficie, entonces la presión a la altura h será igual a la presión en la superficie po más la presión del fluido que hay encima (ρgh): P=P0 +ρgh Observemos que esta presión no variará siempre que analicemos objetos a la misma altura. Esto lo observo el científico Pascal y lo enunció así: ”La presión aplicada a un fluido encerrado se transmite sin disminución a todas las partes del fluido y las paredes del recipiente”. Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica: Figura 8. Representación de una prensa hidráulica. Fuente: Young & Freedman, 2009, p. 460. La prensa hidráulica establece que la presión aplicada en el pistón pequeño se transmita al pistón grande en la misma magnitud, así: F1/A1=F2/A2 Esto ha permitido el desarrollo no solo de elevadores hidráulicos, sino también de sillas de dentista, gatos hi- dráulicos, entre otras tecnologías. Manometría: En la practica la necesidad de conocer la presión, por ejemplo, de una llanta, de un balón de gas o en medicina, la presión arterial, y ocular ha hecho necesario el desarrollo de instrumentos que nos permitan determinar este valor. Definimos manometría a las técnicas y procedimientos que hacen posible lograr esto. La presión absoluta se medirá con respecto al vacío perfecto, la presión manométrica, se mide con respecto a la presión atmosférica. Las presiones absolutas siempre son positivas, pero las manométricas pueden o no serlo. Las unidades en el sistema internacional son los N/m2, que se denomina Pascal, aunque existen aparatos en los que la presión va medida por lb/pulg2, unidades que pertenecen al sistema IG. 460 C APÍTU LO 14 Mecánica de fluidos La diferencia de presión entre los niveles 1 y 2: La presión es mayor en un nivel más bajo. p2 2 p1 5 2rg(y2 2 y1) A una profundidad h, la presión p es igual a la presión sobre la superficie p0 más la presión rgh debida al fluido que hay encima: p 5 p0 1 rgh. p2 5 p0 p1 5 p y1 y2 y2 2 y1 5 h 2 1 Fluido, densidad r 14.6 Cómo varía la presión en función de la profundidad en un fluido con densidad uniforme. Esta ecuación indica que si y aumenta, p disminuye; es decir, conforme se sube por el fluido, la presión disminuye, como esperaríamos. Si p1 y p2 son las presiones en las alturas y1 y y2 respectivamente, y si r y g son constantes, entonces (presión en un fluido de densidad uniforme) (14.5) Suele ser útil expresar la ecuación (14.5) en términos de la profundidad bajo la su- perficie de un fluido (figura 14.6). Tomemos el punto 1 en cualquier nivel en el fluido y sea p la presión en ese punto. Tomemos el punto 2 en la superficie del fluido, donde la presión es p0 (el subíndice indica profundidad cero). La profundidad del punto 1 bajo la superficie es h 5 y2 2 y1, y la ecuación (14.5) se convierte en (presión en un fluido de densidad uniforme) (14.6) La presión p a una profundidad h es mayor que la presión p0 en la superficie, en una cantidad rgh. Observe que la presión es la misma en dos puntos cualesquiera situados en el mismo nivel en el fluido. La forma del recipiente no importa (figura 14.7). La ecuación (14.6) nos dice que si aumentamos la presión p0 en la superficie, tal vez usando un pistón que embona herméticamente en el recipiente para empujar con- tra la superficie del fluido, la presión p a cualquier profundidad aumenta exactamente en la misma cantidad. El científico francés Blaise Pascal (1623-1662) reconoció este hecho en 1653 y lo enunció en la llamada ley de Pascal. Ley de Pascal: la presión aplicada a un fluido encerrado se transmite sin disminu- ción a todas las partes del fluido y las paredes del recipiente. El elevador hidráulico que se representa en la figura 14.8 ilustra la ley de Pascal. Un pistón con área transversal pequeña A1 ejerce una fuerza F1 sobre la superficie de un líquido (aceite). La presión aplicada p 5 F1>A1 se transmite a través del tubo co- nector a un pistón mayor de área A2. La presión aplicada es la misma en ambos cilin- dros, así que (14.7) El elevador hidráulico es un dispositivo multiplicador de la fuerza con un factor de multiplicación igual al cociente de las áreas de los pistones. Las sillas de los dentistas, los gatos hidráulicos para autos, muchos elevadores y los frenos hidráulicos se basan en este principio. En el caso de los gases, el supuesto de que la densidad r es uniforme sólo es rea- lista en distancias verticales cortas. En un cuarto de 3.0 m de altura lleno de aire con densidad uniforme de 1.2 kg>m3, la diferencia de presión entre el piso y el techo, da- da por la ecuación (14.6), es es decir, cerca de 0.00035 atm, una diferencia muy pequeña. En cambio, entre el nivel del mar y la cumbre del Monte Everest (8882 m) la densidad del aire cambia casi en un factor de 3, y en este caso no podemos usar la ecuación (14.6). Los líquidos, en cambio, son casi incompresibles, y suele ser una buena aproximación considerar su densidad como independiente de la presión. Una presión de varios cientos de atmós- feras sólo causa un pequeño incremento porcentual en la densidad de la mayoría de los líquidos. Presión absoluta y presión manométrica Si la presión dentro de un neumático es igual a la presión atmosférica, el neumático estará desinflado. La presión debe ser mayor que la atmosférica para poder sostener el vehículo, así que la cantidad significativa es la diferencia entre las presiones interior y exterior. Cuando decimos que la presión de un neumático es de “32 libras” (en reali- dad 32 lb>in2, igual a 220 kPa o 2.2 3 105 Pa), queremos decir que es mayor que la rgh 5 11.2 kg/m3 2 1 9.8 m/s2 2 1 3.0 m 2 5 35 Pa p 5 F1 A1 5 F2 A2 y F2 5 A2 A1 F1 p 5 p0 1 rgh p0 2 p 5 2rg 1 y2 2 y1 2 5 2rgh o bien, p2 2 p1 5 2rg 1 y2 2 y1 2 La presión en la parte inferior de cada columna de líquido tiene la misma presión p. La presión en la parte superior de cada columna de líquido es la presión atmosférica, p0. La diferencia entre p y p0 es rgh, donde h es la distancia que hay de la parte superior a la parte inferior de la columna de líquido. Por lo tanto, todas las columnas tienen la misma altura. 14.7 Todas las columnas de fluido tienen la misma altura, sin importar cuál sea su forma. F2 pA2 F1 pA1 Se aplica una fuerza pequeña en este lado. 1 Al actuar sobre un pistón con una mayor área, la presión produce una fuerza capaz de sostener el automóvil. 3 La presión p tiene el mismo valor en todos los puntos a la misma altura en el fluido (ley de Pascal). 2 14.8 El elevador hidráulico es una aplicación de la ley de Pascal. El tamaño del recipiente lleno de fluido se ha exagerado por claridad. U N ID A D I T EM A N ° 2 22 Young & Freedman (2009) nos dicen lo siguiente sobre los medidores: El medidor de presión más simple es el manómetro de tubo abierto, que posee un tubo en forma de U que contiene un líquido de densidad ρ, con frecuencia mercurio o agua; otro medidor de presión común es el barómetro de mercurio, que consiste en un largo tubo de vidrio, cerrado por un extremo, que se llena con mercurio y luego se invierte sobre un plato con mercurio. Este instrumento indica la presión atmosférica patm directamente por la altura de la columna de mercurio (p. 461). Figura 9. Instrumentos usados en la medición de la presión Fuente: Young & Freedman, 2009, p. 461 - � Vasos comunicantes: Es la asociación de varios recipientes o tubos conectados a través de los cuales flu- ye un líquido en su interior. Se usa para determinar el peso específico de líquidos desconocidos y cumplen el principio de Pascal. Figura 10. Vasos comunicantes Fuente: Disponible en http://bit.ly/2aryTgw La presión en los tres tubos a la misma altura es la misma: PA=PB=PC. 14 .2 Presión en un fluido 461 presión atmosférica (14.7 lb>in2 o 1.01 3 105 Pa) en esa cantidad. La presión total en el neumático es de 47 lb>in2, o 320 kPa. El exceso de presión más allá de la atmosfé- rica suele llamarse presión manométrica, y la presión total se llama presión absolu- ta. Los ingenieros usan las abreviaturas psig y psia para “lb>in2 manométrica” y “lb>in2 absoluta”, respectivamente. Si la presión es menor que la atmosférica, como en un vacío parcial, la presión manométrica es negativa. Ejemplo 14.3 Determinación de las presiones absoluta y manométrica Un tanque de almacenamiento de 12.0 m de profundidad está lleno de agua. La parte superior del tanque está abierto al aire. ¿Cuál es la pre- sión absoluta en el fondo del tanque? ¿Y la presión manométrica? SOLUCIÓN IDENTIFICAR: El agua es casi incompresible. (Imagine que trata de comprimir con un pistón un cilindro lleno de agua. ¡No podría hacer- lo!) Por lo tanto, consideramos que el fluido tiene densidad uniforme. PLANTEAR: El nivel de la parte superior del tanque corresponde al pun- to 2 de la figura 14.6, y el nivel del fondo del tanque corresponde al punto 1. Por lo tanto, la incógnita es p en la ecuación (14.6); nos indican que h 5 12.0 m y, como el tanque está abierto a la atmósfera, p0 es igual a 1 atm 5 1.01 3 1025 Pa. EJECUTAR: De acuerdo con la ecuación (14.6), la presión absoluta es La presión manométrica es EVALUAR: Si un tanque así tiene un medidor de presión, seguramente estará calibrado para indicar la presión manométrica, no la presión abso- luta. Como señalamos, la variación en la presión atmosférica a una altura de unos cuantos metros es despreciable. 5 1.18 3 105 Pa 5 1.16 atm 5 17.1 lb/in2 p 2 p0 5 12.19 2 1.01 2 3 105 Pa 5 2.19 3 105 Pa 5 2.16 atm 5 31.8 lb/in2 5 11.01 3 105 Pa 2 1 11000 kg/m3 2 1 9.80 m/s2 2 1 12.0 m 2 p 5 p0 1 rgh Medidores de presión El medidor de presión más sencillo es el manómetro de tubo abierto (figura 14.9a). El tubo en forma de U contiene un líquido de densidad r, con frecuencia mercurio o agua. El extremo izquierdo del tubo se conecta al recipiente donde se medirá la pre- sión p, y el extremo derecho está abierto a la atmósfera, con p0 5 patm. La presión en el fondo del tubo debida al fluido de la columna izquierda es p 1 rgy1, y la debida al fluido de la columna derecha es patm 1 rgy2. Estas presiones se miden en el mismo punto, así que deben ser iguales: (14.8) p 2 patm 5 rg 1 y2 2 y1 2 5 rgh p 1 rgy1 5 patm 1 rgy2 La presión es igual en el fondo de los dos tubos. Presión p p0 5 patm h 5 y2 � y1 y2 y1 a) Manómetro de tubo abierto p 1 rgy1 patm 1 rgy2 y En la parte superior del tubo hay un espacio casi vacío. La altura a la que el mercurio se eleva depende de la presión atmosférica ejercida sobre el mercurio en el plato. y1 p0 � 0 2 p 5 patm b) Barómetro de mercurio h 5 y2 2 y1 14.9 Dos tipos de medidores de presión. U N ID A D I TEM A N ° 2 23 Física II MANUAL AUTOFORMATIVO INTERACTIVO 3. � FUERZA SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS Si imaginamos una superficie sumergida en un fluido, el fluido a cada lado de ella ejerce fuerzas iguales y opues- tas sobre la superficie, y estas generan una presión que es normal y uniforme a su alrededor, por esto al analizar la presión que lo afecta consideramos solo el peso de la columna de líquido que esta sobre la partícula, que aumentará al aumentar la profundidad, y a la que denominamos presión hidrostática. Nótese que solo hablamos de la fuerza ejercida por el líquido, que es la que genera esta presión. 4. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Cuando sumergimos un cuerpo en una piscina llena de agua, esta genera presiones en la superficie del cuerpo sumergido, que se incrementan a mayor profundidad. Esta fuerza hacia arriba es lo que denominamos empuje. La anécdota más conocida sobre Arquímedes, matemático griego, cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular. De acuerdo a Vitruvio, arquitecto de la antigua Roma, una nueva corona con forma de corona triunfal había sido fabricada para Hieron II, tirano gobernador de Siracusa, el cual le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba hecha de oro sólido o si un orfe- bre deshonesto le había agregado plata. Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla y convertirla en un cuerpo regular para calcular su densidad. Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en la tina cuando entraba, y así se dio cuenta de que ese efecto podría usarse para determinar el volumen de la corona. Debido a que la compresión del agua sería despreciable, la corona, al ser sumergida, desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir la masa de la corona por el volumen de agua desplazada, se podría obtener la densidad de la corona. La densidad de la corona sería menor si otros metales más baratos y menos densos le hubie- ran sido añadidos. Entonces, Arquímedes salió corriendo desnudo por las calles, tan emocionado estaba por su descubrimiento para recordar vestirse, gritando “eureka” (en griego antiguo: “εὕρηκα” que sig- nifica “¡Lo he encontrado!). (http://fisicameca.jimdo.com/inicio/principio-de-arquimedes/historia-del-princi- pio-de-arquimedes/, s.f.) Esta es la historia que da origen al principio que dice lo siguiente: ”Si un cuerpo está parcialmente sumergido en un fluido, este hará una fuerza hacia arriba igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo”. Por ello, podemos decir que un cuerpo flotará si es menos denso que el fluido en que se encuentra. 5. � HIDRODINÁMICA También conocida como “dinámica de fluidos”, es la parte de la física que estudia los fluidos en movimiento y las leyes y principios que los gobiernan: 5.1. Flujo de fluidos: Denominamos así al desplazamiento de un fluido, un fluido es considerado ideal cuando es incompresible y no tiene fricción interna. El flujo puede ser de los siguientes tipos: • �Estable cuando el patrón del flujo no cambia en el tiempo. • ��Laminar: es un flujo estable, que se desliza en capas ordenadas unas sobre otras. • Turbulento: No tiene un patrón de desplazamiento, cambia constantemente. U N ID A D I T EM A N ° 2 24 Otros conceptos importantes que debemos conocer son: • ��Línea de flujo: Es el trayecto de una partícula de flujo en movimiento. • ��Línea de corriente: Es la curva de la tangente que tiene la dirección de la velocidad en ese punto. 5.2. E cuación de continuidad: Se basa principalmente en que la masa de un fluido no varía al desplazarse, pero su velocidad sí puede variar en el trayecto. Para esto se realiza el siguiente análisis: Considere una porción de un tubo de flujo entre dos secciones transversales estacionarias con áreas A1 y A2 Los valores de la rapidez del fluido en estas secciones son v1 y v2, respectivamente. Durante un breve intervalo de tiempo dt, el fluido en Al se mueve una distancia v1 dt, así que un cilindro de fluido de altura vldty volumen dV1=A1v1 dt fluye hacia el tubo a través de A1. Durante ese mismo lapso, un cilindro de volumen dV2 =A2v2 dt sale del tubo a través de A2. Consideremos primero el caso de un fluido incompre- sible cuya densidad r tiene el mismo valor en todos los puntos. La masa dm1 que fluye al tubo por Al en el tiempo dtesdm1 =ρA1vl dt. De manera similar, la masa dm2 que sale por A2 en el mismo tiempo es dm2 =ρA2v2 dt. En flujo estable, la masa total en el tubo es constante, así que dm1 =dm2 y A1V 1=A 2V2 (ecuación de continuidad, fluido incompresible) El producto Aves la tasa de flujo de volumen dV/dt, la rapidez con que el volumen cruza una sección del tubo: dV/dt (tasa de flujo de volumen) La tasa de flujo de masa es el flujo de masa por unidad de tiempo a través de una sección transversal, y es igual a la densidad ρ multiplicada por la tasa de flujo de volumen dV/dt (Young & Freedman, 2009, pág. 467). Figura 11. Representación de continuidad. Fuente: Young & Freedman, 2009, p. 467. 14 .4 Flujo de fluido 467 gura 14.22). Los valores de la rapidez del fluido en estas secciones son vl y v2, respec- tivamente. No fluye fluido a través de los costados del tubo porque la velocidad del fluido es tangente a la pared en todos sus puntos. Durante un breve intervalo de tiem- po dt, el fluido en Al se mueve una distancia v1 dt, así que un cilindro de fluido de al- tura vl dt y volumen dVl 5 A1v1 dt fluye hacia el tubo a través de A1. Durante ese mismo lapso, un cilindro de volumen dV2 5 A2v2 dt sale del tubo a través de A2. Consideremos primero el caso de un fluido incompresible cuya densidad r tiene el mismo valor en todos los puntos. La masa dm1 que fluye al tubo por Al en el tiempo dt es dm1 5 rA1vl dt. De manera similar, la masa dm2 que sale por A2 en el mismo tiem- po es dm2 5 rA2v2 dt. En flujo estable, la masa total en el tubo es constante, así que dm1 5 dm2 y (ecuación de continuidad, fluido incompresible) (14.10) El producto Av es la tasa de flujo de volumen dV>dt, la rapidez con que el volumen cruza una sección del tubo: (tasa de flujo de volumen) (14.11) La tasa de flujo de masa es el flujo de masa por unidad de tiempo a través de una sec- ción transversal, y es igual a la densidad r multiplicada por la tasa de flujo de volu- men dV>dt. La ecuación (14.10) indica que la tasa de flujo de volumen tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de cualquier tubo de flujo. Si la sección transversal de un tubo de flujo disminuye, la rapidez aumenta, y viceversa. La parte profunda de un río tiene mayor área transversal y una corriente más lenta que la parte superficial, pero las tasas de flujo de volumen son iguales en los dos puntos. El chorro de agua que sa- le de un grifo se adelgaza al adquirir rapidez durante su caída, pero dV>dt tiene el mismo valor en todo el chorro. Si un tubo de agua de 2 cm de diámetro se conecta a un tubo de 1 cm de diámetro, la rapidez de flujo es cuatro veces más grande en el se- gundo tubo que en el primero. Podemos generalizar la ecuación (14.10) para el caso en que el fluido no es incom- presible. Si r1 y r2 son las densidades en las secciones 1 y 2, entonces (ecuación de continuidad, fluido compresible) (14.12) Si el fluido es más denso en el punto 2 que en el punto 1 (r1 . r2), la tasa de flujo de volumen en el punto 2 será menor que en el punto 1 (A2v2 , A1v1). Dejamos los deta- lles al lector (véase el ejercicio 14.38). Si el fluido es incompresible, de manera que r1 y r2 siempre son iguales, la ecuación (14.12) se reduce a la ecuación (14.10). r1 A1 v1 5 r2 A2 v2 dV dt 5 Av A1 v1 5 A2 v2 rA1 v1 dt 5 rA2 v2 dt o bien, El producto Av es constante en el caso de un fluido incompresible. v1 v2 v1 dt v2 dt A1 A2 14.22 Tubo de flujo con área de sección transversal cambiante. Si el fluido es incompresible, el producto Av tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo del tubo. Ejemplo 14.6 Flujo de fluido incompresible Como parte de un sistema de lubricación para maquinaria pesada, un aceite con densidad de 850 kg>m3 se bombea a través de un tubo cilín- drico de 8.0 cm de diámetro a razón de 9.5 litros por segundo. a) Calcu- le la rapidez del aceite y la tasa de flujo de masa. b) Si el diámetro del tubo se reduce a 4.0 cm, ¿qué nuevos valores tendrán la rapidez y la tasa de flujo de volumen? Suponga que el aceite es incompresible. SOLUCIÓN IDENTIFICAR: El punto clave es que el fluido es incompresible, de manera que podemos basarnos en la ecuación de continuidad para rela- cionar la tasa de flujo de masa, la tasa de flujo de volumen, el área del tubo de flujo y la rapidez de flujo. PLANTEAR: Usaremos la definición de tasa de flujo de volumen, ecuación (14.11), para determinar la rapidez v1 en la sección de 8.0 cm de diámetro. La tasa de flujo de masa es el producto de la densidad y la tasa de flujo de volumen. La ecuación de continuidad para flujo incom- presible, ecuación (14.10), nos permite obtener la rapidez v2 en la sec- ción de 4.0 cm de diámetro. EJECUTAR: a) La tasa de flujo de volumen dV>dt es igual al producto A1v1, donde A1 es el área de sección transversal del tubo de 8.0 cm de diámetro (y radio de 4.0 cm). Por lo tanto, v1 5 dV/dt A1 5 19.5 L/s 2 1 1023 m3/L 2 p 14.0 3 1022 m 2 2 5 1.9 m/s continúa U N ID A D I TEM A N ° 2 25 Física II MANUAL AUTOFORMATIVO INTERACTIVO 5.3. Teorema de Bernoulli: Relaciona la presión, la rapidez y la altura del flujo de un fluido ideal. Se usa para analizar plantas hidroeléctricas, sistemas de plomería y desplazamiento de aviones. El teorema tiene como base la ecuación de continuidad que incorpora la variable presión en el desplazamiento del fluido. Se asume un fluido incompresible que se desplaza por un tubo de sección transversal variable, en- tonces se genera una variación de velocidad, eso significa que existe una aceleración. La fuerza que la causa se aplicará al fluido circundante, que significa que la presión varía en algunos tramos. Cuando la sección transversal se estrecha, el fluido se acelera, lo que significa que se desplaza a una zona de menor presión, donde existe una fuerza neta hacia adelante que lo acelera. Si cambia la altura, también se origina presión adicional. p1 + ρgy1 + = p2 + ρgy2 +ρʋ1 21 (ecuación de Bernoulli) 2 ρʋ2 21 2 Donde p=presión, ρ=densidad del fluido, g=gravedad, v1=velocidad 1, y1=altura inicial, y2=altura final, v2 velo- cidad final. Este principio solo se aplica en los casos en los que el fluido es incompresible, el flujo estable y sin fricción. LECTURA SELECCIONADA N° 1: LA MEDICIÓN DEL TIEMPO Morrones, J. (2008). La medición del tiempo. Revista Ingenierías, 11 (41), 14-23. Disponible en: http:// bit.ly/29rqB6D U N ID A D I T EM A N ° 2 26 ACTIVIDAD FORMATIVA Nº 1 Resuelva los siguientes ejercicios y problemas a fin de poner en práctica los conceptos aprendidos: 1. Si una partícula experimenta un m.a.s. con amplitud de 0.18 m, ¿cuál será la distancia total que la partícula viaja en un periodo? 2. Los resortes de un automóvil de 1500 kg se comprimen 5.0 mm cuando una persona de 68 kg se sienta en el lugar del conductor. Si el automóvil pasa por un tope, ¿cuál será la frecuencia de las vibraciones? Ignore el amortiguamiento. 3. Estime la rigidez del resorte en el cangurín de un niño, si éste tiene una masa de 35 kg y rebota una vez cada 2.0 segundos. 4. La figura muestra dos ejemplos de m.a.s., designados como A y B. Para cada uno, diga cuál es a) la amplitud, b) la frecuencia y c) el periodo. d) Escriba las ecuaciones para A y B en la forma de seno o coseno. 5. Imagine que compra una pieza rectangular de metal de 5.0 X15.0 X 30.0 mm y masa de 0.0158 kg. El vende- dor le dice que es de oro. Para verificarlo, usted calcula la densidad media de la pieza. ¿Qué valor obtiene? ¿Fue una estafa? 6. Una esfera uniforme de plomo y una de aluminio tienen la misma masa. ¿Cuál es la razón entre el radio de la esfera de aluminio y el de la esfera de plomo? 7. ¿Qué presión manométrica debe producir una bomba para subir agua del fondo del Gran Cañón (elevación 730 m) a Indian Gardens (elevación 1370 m)? Exprese sus resultados en pascales y en atmósferas. 8. Un cortocircuito deja sin electricidad a un submarino que está 30 m bajo la superficie del mar. Para escapar, la tripulación debe empujar hacia fuera una escotilla en el fondo que tiene un área de 0.75 m2. U N ID A D I TEM A N ° 3 27 Física II MANUAL AUTOFORMATIVO INTERACTIVO TEMA N° 3: ONDAS MECÁNICAS Los vemos y experimentamos a diario al tocar una guitarra en la vibración de las cuerdas, en las olas del mar, al lanzar piedras en el agua, en las ondas sonoras que nos permiten oír, en los terremotos. Todos estos fenómenos tienen algo en común y son las ondas mecánicas, aquellas ondas que se propagan a través de un medio material. En esta unidad conoceremos un poco más de ellas. Para empezar, recordemos que una onda es una perturbación que se propaga por un medio a través del espacio y que al trasladarse transporta energía. Las ondas pueden ser de las siguientes clases: • �Mecánicas: cuando se propagan por un medio físico, sea líquido, sólido o gaseoso. • �Electromagnéticas: Que son aquellas que se propagan sin necesidad de un medio, por lo tanto, lo pueden hacer en el vacío. • �Gravitacionales: Que son las perturbaciones que cambian la geometría espacio-tiempo. En esta unidad, hablaremos específicamente de las ondas mecánicas, que tienen varias clasificaciones. 1. TIPOS DE ONDAS MECÁNICAS Las ondas mecánicas se pueden clasificar de las siguientes maneras: 1.1. EN FUNCIÓN DE SU PROPAGACIÓN 1.1.1. � Ondas unidimensionales: Son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, por ejemplo: ondas en los muelles, en las cuerdas. 1.1.2. �Ondas Bidimensionales: Son ondas que se propagan en dos direcciones; suelen denominarse también ondas superficiales. 1.1.3. ��Ondas tridimensionales o esféricas: Se propagan en tres direcciones, porque salen de la fuente de per- turbación en todas direcciones; ejemplo de esta onda es la onda sonora. 1.2. EN FUNCIÓN DE LA DIRECCIÓN DE SU PROPAGACIÓN 1.2.1. �Onda longitudinal o de compresión: Son aquellas en que la dirección de la vibración es paralela a la dirección de la propagación, por ejemplo, las ondas sonoras. 1.2.2. �Onda transversal: Es toda aquella onda en la que la dirección de la vibración es perpendicular a la direc- ción de la propagación. 1.2.3. �Ondas periódicas: Hablamos de ondas periódicas cuando cada partícula de la cuerda tiene un movimiento periódico. La mayoría de movimientos en la naturaleza, como hemos comentado anteriormente, son pe- riódicos. U N ID A D I T EM A N ° 3 28 Figura 12. Tipos de onda. Fuente: Young & Freedman, 2009, p. 488. 2. �DE SCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA Y RAPIDEZ DE UNA ONDA TRANSVERSAL En las ondas se reconocen las siguientes características: a) � Periodo (T): Tiempo que demora una onda en terminar un ciclo completo. b) � Frecuencia (f): Número de ciclos por segundo(1/T). c) � Amplitud (A): La máxima perturbación en un ciclo de vibración. d) � Longitud de onda (λ): Distancia a lo largo de la perturbación entre dos puntos equivalentes. Por ejemplo: 2 crestas: λ=v/f Las ondas periódicas pueden describirse en función de las características arriba mencionadas, pero para definir posiciones más exactas se necesita definir la función de la onda, en este caso de las ondas periódicas, específi- camente las sinusoidales, que son motivo de nuestro estudio, y cuyas partículas obedecen al m.a.s. que hemos visto anteriormente. Para nuestro estudio se asumirá que tenemos una onda sinusoidal que viaja de izquierda a derecha, y que las partículas de la cuerda oscilan con m.a.s., pero en puntos distintos no están coordinadas, lo que origina que haya partículas que viajen desfasadas de otras, es decir, tienen distinta fase. Así, para una partícula de la cuerda ubicada en el lado izquierdo en t=0, usando la demostración de Sears y Ze- manky, tenemos: y(x = 0, t) = A cosωt = A cos2πft 488 C APÍTU LO 15 Ondas mecánicas 15.1 Tipos de ondas mecánicas Una onda mecánica es una perturbación que viaja por un material o una sustancia que es el medio de la onda. Al viajar la onda por el medio, las partículas que constitu- yen el medio sufren desplazamientos de varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda. La figura 15.1 muestra tres variedades de ondas mecánicas. En la figura 15.1a, el medio es una cuerda tensada. Si imprimimos al extremo izquierdo una ligera sacudida hacia arriba, la sacudida viaja a lo largo de la cuerda. Secciones sucesivas de la cuer- da repiten el movimiento que dimos al extremo, pero en instantes posteriores sucesi- vos. Puesto que los desplazamientos del medio son perpendiculares o transversales a la dirección en que la onda viaja por el medio, decimos que se trata de una onda transversal. En la figura 15.1b, el medio es un líquido o un gas en un tubo con una pared rígida en el extremo derecho y un pistón móvil en el izquierdo. Si imprimimos al pistón un solo movimiento hacia adelante y hacia atrás, el desplazamiento y las fluctuaciones de presión viajarán a lo largo del medio. En esta ocasión, los movimientos de las par- tículas del medio son hacia adelante y hacia atrás en la misma línea en que viaja la on- da, y decimos que se trata de una onda longitudinal. En la figura 15.1c, el medio es líquido en un canal, como agua en una zanja de irri- gación. Si movemos la tabla plana de la izquierda hacia adelante y hacia atrás una vez, una perturbación de onda viajará a lo largo del canal. En este caso, los desplaza- mientos del agua tienen componentes tanto longitudinal como transversal. Cada uno de estos sistemas tiene un estado de equilibrio. En el caso de la cuerda estirada, es el estado en que el sistema está en reposo, estirada en línea recta. Para el fluido en un tubo, es un estado en que el fluido está en reposo con presión uniforme; y para el agua en una zanja, es una superficie lisa y plana. En cada caso, el movimiento ondulatorio es una perturbación del estado de equilibrio que viaja de una región del medio a otra, y siempre hay fuerzas que tienden a volver el sistema a su posición de equilibrio cuando se le desplaza, así como la gravedad tiende a llevar un péndulo ha- cia su posición de equilibrio vertical cuando se le desplaza. Partículas de la superficie del líquido v v Conforme pasa la onda, cada partícula de la superficie del líquido se mueve en círculo. c) Ondas en la superficie de un líquido Partículas del fluido v v Conforme pasa la onda, cada partícula de la cuerda se mueve horizontal y paralelamente al movimiento de la onda misma. b) Ondas longitudinales en un fluido Movimiento de la onda Partículas de la cuerda v v Conforme pasa la onda, cada partícula de la cuerda se mueve vertical y transversalmente al movimiento de la onda misma. a) Ondas transversales en una cuerda 15.1 Tres formas de producir una onda que se mueve hacia la derecha. a) La mano mueve la cuerda hacia arriba y regresa, produciendo una onda transversal. b) El pistón se mueve a la derecha, comprimiendo el líquido o gas, y regresa, produciendo una onda longitudinal. c) La tabla se mueve a la derecha y regresa, produciendo una combinación de ondas longitudinales y transversales. 10.1 Propiedades de las ondas mecánicas O N L I N E U N ID A D I TEM A N ° 3 29 Física II MANUAL AUTOFORMATIVO INTERACTIVO Es decir, la partícula oscila en movimiento armónico simple con amplitud A, frecuencia f y frecuencia angular ω=2πf. La notación y(x =0, t) nos recuerda que el movimiento de esta partícula es un caso especial de la función de onda y(x, t) que describe toda la onda. En t = 0, la partícula en x = 0 tiene máximo desplazamiento positivo (y = A) y está instantáneamente en reposo (porque el valor de y es un máximo). La perturbación ondulatoria viaja de x = 0 a algún punto x a la derecha del origen en un tiempo dado por x/v, donde v es la rapidez de la onda. Así, el movimiento del punto x en el instante t es el mismo que el movimiento del punto x =0 en el instante anterior t -x/v. Por lo tanto, podemos obtener el desplazamiento del punto x en el instante t con solo sustituir t en la ecuación por (t 2 x>v). Al hacerlo, obtenemos la siguiente expresión para la función de onda: [ ( )]y(x, t) = A cos ω t - x v Dado que cos (-θ) = cosθ, podemos rescribir la función de onda así: [ ( )]y(x, t) = A cos ω - tx v ( )= A cos2 πf - t (onda senoidal que avanzan en la dirección + x) x v El desplazamiento y(x, t) es función tanto de la posición x del punto como del tiempo t. Podemos hacer más general la ecuación contemplando diferentes valores del ángulo de fase, pero por ahora omitiremos esto. Podemos rescribir la función de onda dada por la ecuación de varias formas distintas, pero útiles. Una es expre- sarla en términos del periodo T = 1/f y la longitud de onda λ = v/f: ( )y(x, t) = A cos2π - x λ (onda senoidal que se mueve en la dirección + x) t T Obtenemos otra forma útil de la función de onda, si definimos una cantidad k llamada número de onda: k = (número de onda)2π λ Sustituyendo y en la relación longitud de onda λ=2π/k y frecuencia f= ω/2π, obtenemos lo siguiente: ω = vk (onda periódica) Ahora podemos rescribir la ecuación como: y(x, t) = A cos(kx - ωt) (onda senoidal que se mueve en la dirección + x) Rapidez de una onda transversal En una cuerda u alambre tenso, está dada por: V=√T/υ Siendo T, la tensión, y υ: masa por unidad de longitud. Esta expresión nos demuestra que la rapidez de la onda se incrementara al incrementar la tensión de la cuerda. U N ID A D I T EM A N ° 3 30 3. �ENE RGÍA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO Al iniciar la unidad comentamos que las ondas transportan energía de una región a otra; prueba de ello son las olas, así como las ondas sísmicas que originan destrucción, lo cual sucede porque al propagarse cada parte del medio hace una fuerza y realiza un trabajo que se transforma en energía. Así analicemos un punto “a” de la cuerda, que se desplaza en dirección del eje y, entonces Fy realiza un trabajo sobre este punto transfiriendo energía, la potencia en este punto sería la fuerza transversal en este punto multi- plicada por la velocidad transversal en el mismo. Figura 13. Componentes de la fuerza en el punto a. Fuente: Young & Freedman, 2009, p. 502 Para una onda sinusoidal de frecuencia f, las partículas se mueven en movimiento armónico simple conforme la onda pasa, y cada partícula tiene energía E = 1/2 kA2 donde A es el desplazamiento máximo (amplitud) de su movimiento, ya sea transversal o longitudinalmente. Al usar la ecuación podemos escribir K=π2mf2 donde m es la masa de una partícula (o pequeño volumen) del medio. Así, en términos de la frecuencia f y la amplitud A. (Giancoli, 2001) E = kA2 = 2π2mf 2A2 2 1 4. � ONDAS ESTACIONARIAS Al agitar una cuerda con un extremo fijo a la frecuencia adecuada esta viajará hasta el extremo fijo y se reflejará hasta el punto que dos ondas viajeras interfieran produciendo una onda estacionaria, que se denomina así por parecer que no está viajando. La cuerda parece tener segmentos que oscilan arriba y abajo en un patrón fijo. Ciertos puntos de la onda permanecen inmóviles. Figura 14. Ondas estacionarias. Fuente: Young & Freedman, 2009, p. 507. En este grafico se observan nodos que son los puntos de inferencia destructiva (el punto no se mueve), y anti- nodos, los puntos de interferencia constructiva (donde la amplitud es máxima). 502 C APÍTU LO 15 Ondas mecánicas 15.5 Energía del movimiento ondulatorio Todo movimiento ondulatorio tiene energía asociada a él. La energía que recibimos del Sol y los efectos destructivos del oleaje y los terremotos lo atestiguan. Para producir cualesquiera de los movimientos ondulatorios que hemos visto en este capítulo, necesi- tamos aplicar una fuerza a una porción del medio de la onda; el punto de aplicación se mueve, así que efectuamos trabajo sobre el sistema. Al propagarse la onda, cada por- ción del medio ejerce una fuerza y realiza trabajo sobre la porción adyacente. De este modo, una onda puede transportar energía de una región del espacio a otra. Como ejemplo de las consideraciones de energía en el movimiento ondulatorio, examinemos otra vez las ondas transversales en una cuerda. ¿Cómo se transfiere ener- gía de una porción de la cuerda a otra? Imagine una onda que viaja de izquierda a de- recha (dirección 1x) y un punto a específico de la cuerda (figura 15.15a). La cuerda a la izquierda de a ejerce una fuerza sobre la cuerda a la derecha, y viceversa. En la fi- gura 15.15b, se ha quitado la cuerda a la izquierda de a, y la fuerza que ejerce en a se representa con las componentes F y Fy, como en las figuras 15.11 y 15.13. Destaca- mos que Fy>F es igual al negativo de la pendiente de la cuerda en a, que también está dada por Juntando esto, tenemos (15.20) Necesitamos el signo negativo porque Fy es negativa cuando la pendiente es positiva. Escribimos la fuerza vertical como Fy(x, t) para recordar que su valor puede variar en diferentes puntos de la cuerda y con el tiempo. Cuando el punto a se mueve en la dirección y, la fuerza Fy efectúa trabajo sobre este punto y, por lo tanto, transfiere energía a la parte de la cuerda que está a la dere- cha de a. La potencia correspondiente P (rapidez con que se hace trabajo) en el punto a es la fuerza transversal Fy(x, t) en a multiplicada por la velocidad transversal de ese punto: (15.21) Esta potencia es la razón instantánea con que se transfiere energía por la cuerda; su valor depende de la posición x en la cuerda y del tiempo t. Sólo se transfiere ener- gía en los puntos en que la cuerda tiene pendiente distinta de cero ('y>'x), de modo que hay una componente transversal de la tensión, y en los que la cuerda tiene velo- cidad transversal distinta de cero ('y>'t), de modo que la fuerza transversal puede efectuar trabajo. P 1 x, t 2 5 Fy 1 x, t 2vy 1 x, t 2 5 2F 'y 1 x, t 2 'x 'y 1 x, t 2 't vy 1 x, t 2 5 'y 1 x, t 2 /'t Fy 1 x, t 2 5 2F 'y 1 x, t 2 'x 'y/'x. y la masa por unidad de longitud de la cuerda es Entonces, por la ecuación (15.13), la rapidez de la onda es: b) Por la ecuación (15.1), l 5 v f 5 88.5 m/s 2.00 s21 5 44.3 m v 5 Å F m 5 Å 196 N 0.0250 kg/m 5 88.5 m/s m 5 mcuerda L 5 2.00 kg 80.0 m 5 0.0250 kg/m La longitud de la cuerda es de 80.0 m, así que el número de ciclos que caben en la cuerda es EVALUAR: Si consideramos el peso de la cuerda, la tensión es mayor en la parte de arriba de la cuerda que abajo. Por lo tanto, la rapidez de la onda aumentará y la longitud de onda disminuirá conforme la onda suba por la cuerda. ¿Puede comprobar que la rapidez de la onda al lle- gar a la parte superior es de 92.9 m>s? 80.0 m/s 44.3 m/ciclo 5 1.81 ciclos Evalúe su comprensión de la sección 15.4 Las seis cuerdas de una guitarra tienen la misma longitud y están sometidas a una tensión muy parecida, pero tienen diferente espesor. ¿En qué cuerda viajan con mayor rapidez las ondas? i) la cuerda más gruesa; ii) la cuerda más delgada; iii) la rapidez de onda es la misma en todas las cuerdas. ❚ a) Dy DxCuerda 5 a Dy Dx b) a Fy F y x 15.15 a) Punto a en una cuerda que lleva una onda de izquierda a derecha. b) Componentes de la fuerza ejercida sobre la parte derecha de la cuerda por la parte izquierda en el punto a. 15 .7 Ondas estacionarias en una cuerda 507 Evalúe su comprensión de la sección 15.6 La figura 15.22 muestra dos pulsos de onda con diferente forma que viajan en direcciones opuestas por una cuerda. Haga una serie de dibujos como los de la figura 15.21 que muestren la forma de la cuerda al aproximarse, traslaparse y pasarse los dos pulsos. ❚ 15.22 Dos pulsos de onda con diferente forma. físicos, como un medio que no obedece la ley de Hooke, la ecuación de onda no es li- neal, y el principio no se cumple. El principio de superposición es muy importante para todo tipo de ondas. Si un amigo nos habla mientras escuchamos música, podemos distinguir el sonido de su voz del sonido de la música. Esto es precisamente porque la onda sonora total que llega a nuestros oídos es la suma algebraica de la onda producida por la voz del ami- go y la producida por los altavoces (bocinas) de su equipo modular. Si dos ondas sonoras no se combinaran de esta sencilla forma lineal, el sonido que oiríamos en esta situación sería una revoltura incomprensible. La superposición también se aplica a las ondas electromagnéticas (como la luz) y de muchos otros tipos. 15.7 Ondas estacionarias en una cuerda Hemos hablado de la reflexión de un pulso de onda en una cuerda cuando llega a una frontera (un extremo fijo o libre). Veamos ahora lo que sucede cuando una onda se- noidal es reflejada por un extremo fijo de una cuerda. Otra vez enfocaremos el pro- blema considerando la superposición de dos ondas que se propagan por la cuerda, una que representa la onda original o incidente, y otra que representa la onda reflejada en el extremo fijo. La figura 15.23 muestra una cuerda fija en su extremo izquierdo. El extremo de- recho se sube y baja en movimiento armónico simple para producir una onda que viaja a la izquierda; la onda reflejada del extremo fijo viaja a la derecha. El movi- miento resultante cuando se combinan las dos ondas ya no parece dos ondas que viajan en direcciones opuestas. La cuerda parece subdividirse en segmentos, como N 5 nodos: puntos donde la cuerda nunca se mueve. A 5 antinodos: puntos donde la amplitud del movimiento de la cuerda es máximo. a) La cuerda tiene media longitud de onda d) La cuerda es de dos longitudes de onda e) La forma de la cuerda en b) en dos instantes diferentes b) La cuerda es de una longitud de onda c) La cuerda es de una y media longitudes de onda N A NN A 15.23 a) a d) Exposiciones sucesivas de ondas estacionarias en una cuerda estirada. De a) a d), la frecuencia de oscilación del extremo derecho aumenta, y la longitud de la onda estacionaria disminuye. e) Los extremos del movimiento de la onda estacionaria de b), con nodos en el centro y en los extremos. El extremo derecho de la cuerda se mueve muy poco en comparación con los antinodos, así que es prácticamente un nodo. U N ID A D I TEM A N ° 3 31 Física II MANUAL AUTOFORMATIVO INTERACTIVO “Todos los puntos de la cuerda están en movimiento armónico simple, pero todos los que están entre cualquier par sucesivo de nodos oscilan en fase” (Young & Freedman, 2009, p. 509) La expresión matemática de una onda estacionaria está dada por la siguiente ecuación: y(x, t) = (Aswsen kx)sen ωt (onda estacionaria en una cuerda, extremo fijo en x = 0) En los puntos donde senKX=0, se ubicarán los nodos. Es bueno saber que la amplitud de la onda estacionaria es dos veces la amplitud de la onda viajera original, (Young & Freedman, 2009) y que a diferencia de la onda viajera, la onda estacionara no pasa energía. Onda estacionaria: cuerda fija en ambos extremos: Esta onda estacionaria es la que normalmente sucede en los instrumentos musicales como la guitarra. Al pulsar las cuerdas las ondas se desplazan de un extremo a otro, reflejándose una y otra vez, y formando ondas estacio- narias. La onda que se origina en este caso es sonora, y la onda que resulta debe tener un nodo en cada extre- mo. La distancia entre nodos es media longitud de onda, por lo que la longitud de la cuerda estaría dada por nλ/2. La frecuencia más pequeña corresponde a longitud de onda más grande y es llamada frecuencia fundamental (f=v/2L). Las otras frecuencias pueden ser representadas por n(v/2L). El modo normal de un sistema oscilante es un movimiento en el que todas las partículas del sistema se mueven senoidalmente con la misma frecuencia. En los instrumentos de cuerda, las frecuencias de estos modos norma- les determinan los tonos musicales que producen estos instrumentos. Figura 15. Modos normales en una cuerda fija. Fuente: Young & Freedman, 2009, p. 512. La frecuencia fundamental de la onda sonora en el aire al vibrar en una cuerda de extremos fijos está dada por lo siguiente: f1 = 1 2L (cuerda fija en ambos extremos)F µ 512 C APÍTU LO 15 Ondas mecánicas Esto es, si una cuerda de longitud L está fija en ambos extremos, sólo puede existir una onda estacionaria si su longitud de onda satisface la ecuación (15.30). Despejando l de esta ecuación y denotando los posibles valores de l con ln, tenemos (15.31) Pueden existir ondas en la cuerda si la longitud de onda no es igual a uno de estos va- lores; sin embargo, no puede haber un patrón de onda estable con nodos y antinodos, y la onda total no puede ser estacionaria. Las ondas estacionarias de las figuras 15.23a, 15.23b, 15.23c y 15.23d ilustran la ecuación (15.31); éstas representan n 5 1, 2, 3 y 4, respectivamente. A la serie de posibles longitudes de onda estacionaria ln corresponde una serie de posibles frecuencias de onda estacionaria fn, cada una relacionada con su longitud de onda correspondiente por La frecuencia más pequeña f1 corresponde a la longitud de onda más grande (el caso n 5 1), l1 5 2L: (15.32) Ésta se llama frecuencia fundamental. Las otras frecuencias de onda estacionaria son f2 5 2v>2L, f3 5 3v>2L, etcétera. Todas éstas son múltiplos enteros de la frecuen- cia fundamental f1, como 2f1, 3f1, 4f1, y así sucesivamente, y podemos expresar todas las frecuencias como (15.33) Estas frecuencias se llaman armónicos, y la serie es una serie armónica. Algunos músicos llaman a f2, f3, etcétera, sobretonos; f2 es el segundo armónico o el primer sobretono, f3 es el tercer armónico o el segundo sobretono, y así sucesivamente. El primer armónico es la frecuencia fundamental (figura 15.25). Para una cuerda con extremos fijos en x 5 0 y x 5 L, la función de onda y(x, t) de la n-ésima onda estacionaria está dada por la ecuación (15.28) (que satisface la condi- ción de que haya un nodo en x 5 0), con y (15.34) Es fácil demostrar que esta función de onda tiene nodos en x 5 0 y x 5 L, como debe ser. Un modo normal de un sistema oscilante es un movimiento en el que todas las partículas del sistema se mueven senoidalmente con la misma frecuencia. En el caso de un sistema compuesto por una cuerda de longitud L fija en ambos extremos, cada una de las longitudes de onda dadas por la ecuación (15.31) corresponde al patrón y a la frecuencia de un posible modo normal. Hay un número infinito de modos norma- les, cada uno con su frecuencia y patrón de vibración característicos. La figura 15.26